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Entwickelung von (f^ (x y) gehört, in welcher ^ fehlt, so ist das frag- 



liehe Integral = o, sonst hat es einen von Null verschiedenen Werth. 

 Ist also die Anzahl aller Curven. Uj, deren zugehörige Entwickelungen in 



1 



cp (x y) ein Glied mit -. erzeugen, gleich m und sind Aj, Ag. . . . A^^ 



die betreffenden Integralwerthe, so drücken sich die sämmtlichen Perioden 



des Integrales |(/)(xy)dx durch die 2 p Grössen (a), (b), . . . (m)p _„ (n)p_i 



und die Aj, Ao . . . A„ aus. Die letzteren sind aber nicht unabhängig. 



Denn weil in T" (/3(xy)dx eine einwerthige Function der oberen Grenze 



und Wo in T" geschlossen ist, wird das um Wq genommene Integral 

 gleich Null. Bei dieser Integration zerstören sich wieder die über die 

 Ufer der üebergänge genommenen Theile; diejenigen, die sich auf eine 

 und dieselbe Curve Uj beziehen, schliessen sich zu einem um diese Curve 

 genommenen Integral zusammen und ergeben o oder eine der Zahlen 

 A,, Ag, . . . A^. Also ist 



in • 



^A; = O 



womit ein bekanntes Resultat wieder gefunden ist.^j Es lassen sich 

 also die Perioden des Integrals dritter Gattung mit m loga- 

 rithmischen Unstetigkeiten durch höchstens 2p-l-m — 1 

 Grössen darstellen. 



Ein weiteres Eingehen auf die, wie in § 8 abzuleitenden Beziehungen, 

 wobei Integrale zweiter und dritter Gattung in Frage kommen, würde 

 zu sehr von meinem nächsten Zweck abführen; ich kann es daher um- 

 somehr unterlassen, als es keiner Schwierigkeit unterliegt, z. B. den Satz 

 über, die Vertauschung von Argument und Parameter mit den gegebenen 

 Hilfsmitteln abzuleiten. 



1) Siehe z. B. C. Neumann, Vorlesungen über Rieraann's Theorie u. s. w. 2. Auflage. 

 Seite 204 Gl. (19^). 



