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es daher nothwendig, die Eigenschaften der Functionen U,, und V,,, welche 

 auch ein hervorragendes mathematisches Interesse darbieten, kennen zu 

 lernen. Einer der folgenden Abschnitte ist daher der Untersuchung dieser 

 Functionen gewidmet. 



Wie die für kreisförmig begrenzte Schirme massgebenden Functionen 

 ü, und Uo mit den Bessel'schen Functionen mit ganzzahligem Index, 

 so hängen die Functionen Uj und U3, welche die Beugungsgesetze gerad- 

 linig begrenzter Sirme beherrschen, mit denjenigen Bessel'schen Func- 

 tionen zusammen, deren Index ein ungerades Vielfaches von i oder von 

 — J ist. Diese letzteren haben jedoch, obgleich in mancher Hinsicht 

 ausgezeichnet, bisher weniger Beachtung gefunden als jene. Es erschien 

 daher zweckmässig, der Betrachtung der Functionen U,. und V,, einen 

 besonderen Abschnitt über die Bessel'schen Functionen, deren Index 

 -j- "r^ ist, vorauszuschicken. 



Seit Fresnel pflegte man die Beugung an geradlinigen Rändern 

 auf die nach ihm benannten Integrale zurückzuführen. Diese hervor- 

 ragende Stellung, welche die Fresnel'schen Integrale bisher in der 

 Theorie der Beugung eingenommen haben, wird ihnen durch die vor- 

 liegende Darstellung in keiner Weise geschmälert. Diese Transcendenten 

 erscheinen vielmehr als eine der wichtigsten und brauchbarsten Ausdrucks- 

 formen, in welche die Functionen Ui^ und U| sich kleiden lassen. Es ist 

 daher in Folgendem auch den Fresnel' sehen Integralen ein besonderer 

 Abschnitt zugetheilt. 



II. Abschnitt. 

 Die Bessel'sclie Function 1, 2..+i(z). 



20. Die B e s s e r sehen Functionen, deren Indices ungerade Vielfache 

 von 1 oder von — ^ sind, lassen sich bekanntlich in geschlossener Form 

 durch Sinus und Cosinus im Verein mit gewissen algebraischen Func- 

 tionen ausdrücken. Denn indem man sie unter fortgesetzter Anwendung 

 der Gleichung ') : 



1) Alle Gleichunjren, in welchen v als Index der B es sei' sehen Functionen vorkommt, gelten 

 für jedes beliebige (reelle oder complexe) v. 



