48. Da 



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47. Da 



^^-(^^ ^) -im — ü , ) ^^vj^,^) _ wy , — V ) 



und (gemäss 38) für y = z: 



ist, so gelten zwischen den Functionen U,.(z, z) und V^(z, z) einerseits und 

 den Besser sehen Functionen andrerseits die Beziehungen: 



2 1.-. (-) • '-"^ = U:_/z, z) - U;_^^(z, z) , 

 2I-(.-i)(z)- "^^ = V;^,(z, z) - r_/z, z). 



^2— = i (U._2(z, z) - 2U,(z, z) + U„+,3(z, z)) , 



^^^^ = i (V_.+,(Z, z) - 2V_„+,(z, z) + V_„(z, z)) 

 und: 



Uy (z, z) 4- ü,,+2 (z, z) = I^ (z) , V_^ (z, z) + V_^+2 (z, z) = I„ (z) 



ist, so leisten die Functionen Uy(z, z) und V_y_).2(z, z) einer und derselben 

 linearen Dififerentialgleichung: 



oder, weil: 



I 4-1 -^l^i)l 



ist, der Gleichung: 



37^ + ^ = ^^-^-' 



Genüge. Die beiden Formen ihres vollständigen Integrals, welche sich 

 hienach ergeben, nämlich: 



u = A cos z -]- B sin z 4- U„(z, z) , 



u = A'cos z -|- B'sin z -|- '^-v+2 (z? z) 

 sind vermöge der Beziehung: 



Uy (Z, Z) — V_,,^o (Z, Z) = cos (^Z ^ 77 j 



ersichtlich gleichbedeutend. 



