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ist, für /' > — 1 



U,,(y,o) + U„+2(y,o) = 2ir^ 



C'+l) 



V_„(y, o) + V_„+o(y, o) = .^,-^— . 



Differentiirt man diese Gleichungen ' m mal nach y, so ergibt sich 

 (vermöge 51): 



U„_ui(y, o) + U„+o_,„(y, o) = ^z^iT^^ - , 



j,m|-ly»'-m 



V_,,+,Jy, o) + V_,^.o+,„(y, o) = ^, - . 



-I x (i'-j-i) 



Diese Gleichungen gelten für r > — 1 und m positiv ganz oder Null, 

 also für jeden beliebigen Index. 



53. Da (gemäss 51): 



3^Uv+2-m(y , O) _ 1 TT /„ n^ d-'V-y+u.(y, 0) _ 1 y , s 

 2^2 — 4 ^'•-mUj Oj , g-^ — 4 V _,,^,„^2U5 Oj ) 



und vermöge der vorstehenden Gleichungen: 



i ü„_„, (y , o) = i;::^^f^ } U„+o_,„ (y , o) , 



i V_„+„.+,(y, o) = ^ y.m+2r^^, ^^ — 1 V -,.+,„ (y, o) 



ist, so erkennt man, dass sowohl ü,,+2-m(y5 0) als auch V._,.+„i(y, o) der 

 linearen Differentialgleichung (j/> — l.ra positiv ganz oder Null): 



Genüge leisten; ihr vollständiges Integral ist demnach entweder: 



u = A cos 1 y + B sin I y + U,+.,_,„ (y, o) , 



oder: , , 



u = A cos I y + B sm i y + V_„_^„Jy, o) , 



welche beide Formen übrigens vermöge der für jedes r giltigen Be- 

 ziehung (36): 



U„(y, o) — V_,+.(y, o) = cos (i- y — g •'^) 

 zusammenfallen. 



