'1 vV+-> 



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54. Die Function U,,(y, o) ist für jedes r bereits definirt durch die 

 stets convergente unendliche Reihe (32): 



U„(y, o) = ^(- lY ■ y''H-^r[z-^"+^") K+.].,^,. ■ 



Ist insbesondere »' > — 1 , so nimmt dieselbe, da unter dieser Be- 

 dingung : 



ist, folgende Gestalt an: 



l (r+2iH-l) 



Wird diese Gleichung mmal (mit Rücksicht auf 51) nach y dif- 

 ferentiirt, so kommt: 



U„_,„(y,o) = ^(- l)''^*^^— (-1 y)"+^"-"' 



welche Gleichung, da r — m (wo j'> — 1, m positiv ganz oder Null ist) 

 jeden reellen Werth vorstellt, ebenfalls als Definition der Function U,,(y. o) 

 für jeden beliebigen Index angesehen werden kann. 



Ist m gerade = 2n, so kann letztere Gleichung, ohne an Allgemein- 

 heit einzubüssen, auch wie folgt geschrieben werden: 



p =3 n — 1 



U...-,„(y, 0) - (- 1)" ü„(y, o) = ^- ^(- l)-^ . ^^iibr- , 



p = o 



ein Resultat, welches sich ebenso auch durch successive Anwendung der 

 Formel (52): 



U._.(y, o) + U„+,_ Jy, o) = (- ir (I)". -i- ^-=^P- 

 ergeben würde. . 



Aus diesen Formeln ergibt sich für ganzzahlige Indices: 

 U„(y,o) = cos^y, Ui(y,o) = sin|y, Uä(y,o) = 1 — cos^y, 

 und allgemein: 



U,„(y.o) = (-l)"(cosiy-^(- 1)"-^) , 



(2p) 



ü.,,(y,o) = (-i)"(siniy-^(-ir.|ll^) 



prro 

 p = n — 1 



(2p + 1)! 



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