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U_,„(y,o) = (-l)"cosiy, 



U_,„_i(y,o) = (-!)"+• sin -J-y, 



oder auch, wenn man die letzteren beiden Gleichungen in eine einzige 

 zusammenfasst: 



U-,„(y,o) = cos(|y + l7r). 



Die goniouietrischen Functionen Sinus und Cosinus sind demnach in 

 der Function U,, als specielle Fälle eingeschlossen. 



55. Vermöge der Gleichung: 



V„(y, 0) = ü_,+2(y, o) -f cos(-|-y + ^ ti) , 



durch welche die Function V,,(y, o) definirt wird, ergibt sich im Hinblick 

 auf die vorstehenden Resultate sofort: 



Vo(y,o)=l, V„,+i(y,o)=ro, 



-2„(y,o) = (-ir^(-i 



p = o 



(2p)! ' 



1^=" avV^p+1 



v^,„^,(y.o) = (-ir^(~ir.|j£-^. 



Für ganzzahlige Indices ist demnach die Function V,,(y,o) eine alge- 

 braische rationale ganze Function von y. 



Für jeden anderen Werth des Index repräsentirt die obige Definitions- 

 gleichung, wenn man statt U_„^2(y;0) die entsprechende unendliche Reihe 

 setzt, die convergente Entwickelung der Function V,,(y, o). 



56. Durch fortgesetzte Anwendung der Gleichung (52): 



V,.^,.(y, o) + V„^.,..,,(y, o) = (^ !)"■ (|)'. j^ <^"" , 



WO r<.l und m positiv ganz oder Null ist, erhält man leicht die Ent- 

 wickelung: 



p = ii 



V„+„.(y, O) = {- ir . (-^)^ -^^( - l)-' • ^t^' + (- 1)"+^ V.^,n+2n+.(y,0), 



p=o 



zu welcher man auch gelangt, wenn man in (32): 



