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Setzen wir in den letzteren Formen ^77f^ = z, so erhalten wir: 



V z z 



I cos^77i'-di; =^11/ — cosz dz = j^ I I_|dz, 



O 



V z z 



I sin^^Tif^df =1^1 1/ —sinzdz =:-i-ll^dz. 







76. Aus dem Vorhergehenden erhalten wir nun sofort durch U-Func- 

 tionen ausgedrückt (vergl. 9, 68): 



.Jl_.d.=^ü,(2z,o).cos.+^ü,(2.,o,.si„., 



-= Uj (2z , o) • cos z + ^= 



1 XT .^ X . 1 



^ ^^^^ =^U^(2z,o)-sinz — ^ü|(2z,o)-cosz, 



und daraus wieder vermöge der Beziehungen (36): 



U^(2z,o) — V|(2z,o) =sin(z + |7i), 

 Uj(2z,o) — V.(2z,o) =— cos(z + |7x) 

 die Gilbert' sehen Formeln: 



z 



i Ijdz = |+— V-j(2z,o)-sinz + ^V.j(2z,o)-cosz, 







z 



i Iidz = | — ^V,(2z,o)-cosz + ^V|(2z,o)-sinz. 







77. Als zur numerischen Berechnung brauchbare Entwickelungen 

 ergeben sich für die U-Functionen aus (54) die convergenten Knochen- 

 hauer' sehen Reihen ' ) : 



1) Knochenhauer, Togg. Ann. XLI. 1837. 



