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den Durchschnittspunkt beider. Dieser Punkt werde mit demselben Buch- 

 staben bezeichnet, wie die betreffende Richtung, so dass z. B. X^ der Punkt 

 ist, in welchem die X„-Axe die Kugel schneidet. Nennt man nun weiter 

 y, /i, ^2 die Winkel, welche die Normale, der einfallende und gebrochene 

 Strahl mit der Z^-Axe bildet, (/'; '/'n V2 die Winkel, welche die Projectionen 

 dieser drei Richtungen auf die ¥„ X,,- Ebene mit der X„-Axe bilden und <; 

 den Winkel bei N in dem sphärischen Dreiecke NEZ^, so ergiebt sich: 



sin ßsina ^ sin y^ sin (i/'j — </') 



sin cf sin o = sin y2 sin {ip2 — '/O 



woraus . ^ 



^ _ srn^ __ sm y^ sin (t/>j — Ip) 



sina smy^sm{ip^ — i//) ^ ^ 



Sind weiter x^ y„ z„ die Coordinaten des Kugelmittelpunktes also der 

 Eintrittsstelle des Strahles, ferner x^ j^ Zj und x.j jg z, die Coordinaten eines 

 Punktes des einfallenden resp. des gebrochenen Strahles, welcher von der 

 Grenzfläche um die Strecke (>, resp. (>2 absteht, so ist 



Xj — Xq = (>i sm /i cos «/'i 

 yi— yo = (>isin/isini/^, 

 Zi — 20^(^1 sin 7i 



Xg — Xg = (^2 sm ^2 cos i/'2 

 7-2 — yo = (>2 sin r-2 sin 1/^2 

 Z2 — Zo = (^2 sin /2 



Wenn nun noch 9) (x, y, z) ^ o die Gleichung der Trennungsfläche ist, 

 so findet man für die Richtungswinkel der Normalen im Punkte x^y^Zo: 



sin y cos ip =: C-(p (x^) 



sin;/sini/^ = C-f/)'(y„) 



cosy =C-(p'{z^) 



Mit Hülfe dieser Gleichung lässt sich (1) schreiben: 



n — g2 (ji — yo)y'(^o) — (^1 — ^o)y (.Yo) , /2) 



Vertauschen wir hierin überall die y mit z, so muss (2) offenbar 

 ungeändert bleiben. Es muss also auch: 



92 (zi — Zo)y'(xo) — (x, — Xo)y'(zo) , . 



Cl (Z2 — Zq) 9» (Xq) — (X2 — Xo) (P (Zß) 



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