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einmal weil die andern sich leicht dem gegebenen Schema einfügen und 

 dann weil die Ableitung der Gleichungen, welche an die Stelle von 

 Gl. XVI treten. Erörterungen über die Normirung der Integrale zweiter 

 und dritter Gattung nöthig gemacht hätte, welche nur in einer ausführ- 

 lichen Theorie der Abel'schen Functionen ihre passende Stelle finden 

 können. 



§ 1- 



Es sei f (x y) = o eine algebraische, irreducibele Gleichung zwischen 

 den beiden complexen Variabein x und y, von welchen x, wie gebräuch- 

 lich, durch einen Punkt in einer Ebene dargestellt werde. 



Die durch jene Gleichung definirte Function y von x habe n Ver- 

 zweigungspunkte W|, Wo, . . Wö, von welchen auch einer im Unendlichen 

 liegen kann. Für einen Werth x^, von x, der keinem Verzweigungspunkt 

 entspricht, gibt es, wenn f (x y) in Bezug auf y vom i'*''" Grade ist, 

 V Potenzreihen yi, y2, • ■ • y»- die nach ganzen positiven Potenzen von x — Xq 

 fortschreiten und für y gesetzt die Gleichung f (x y) = o erfüllen. 



Wenn man eines dieser Functionselemente von Xq auf einem 

 Wege fortsetzt nach Xq zurück, der in seinem Innern keinen der Punkte 

 W; einschliesst oder, wenn alle Verzweigungspunkte im Endlichen liegen, 

 sie alle einschliesst, so kommt man in Xq mit demselben Functionsele- 

 mente an, mit dem man ausgegangen war. Wenn aber der Weg nicht 

 jene Bedingungen erfüllt, so kann man zwar mit demselben Element in 

 Xq ankommen mit dem man ausgegangen war, aber es braucht nicht der 

 Fall zu sein. Da man irgend einen Weg von Xo nach Xq zurück, ohne 

 das Element mit dem man ankommt zu ändern, aus Wegen zusammen- 

 setzen kann, die je nur einen Verzweigungspunkt umschliessen, so braucht 

 man nur zu wissen wie die Functionselemente sich verändern, wenn sie 

 über einen solch' einfacheren Weg fortgesetzt werden. Dies gilt auch 

 dann, wenn einer der Verzweigungspunkte im Unendlichen liegt. Man 

 hat dann nur unter dem Wege, der diesen Verzweigungspunkt allein um- 

 schliesst, einen Weg zu verstehen, der alle endlichen Verzweigungspuukte 

 in seinem Innern enthält. Für unseren Zweck kann aber ein Weg, der 

 nur einen Verzweigungspunkt W; umschliesst, ohne Schaden wieder zu- 

 sammengezogen werden auf eine Schleife, d. h. einen Weg der von 



