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Xq bis in die Nähe von Wj längs einer, sich selbst nicht schneidenden, 

 Curve verläuft, dann Wj in einem kleinen Kreise umgibt, der keinen 

 andern Verzweigungspunkt enthält, und schliesslich wieder längs der 

 schon benützten Curve zurück nach Xq führt. Entspricht Wj dem Werthe 

 00 von X, so besteht die Schleife aus einer von Xq ausgehenden Curve 

 und einem an ihr sitzenden Kreise von solchem Radius, dass er alle end- 

 lichen Verzweigungspunkte einschliesst. 



Setzt man nun die sämmtlichen Elemente J^^jo, -Jv über eine be- 

 stimmte Schleife von Xq fort bis nach Xg zurück, so findet man bei der 

 Rückkehr, der Reihe nach entsprechend, die Elemente jai Ja-i- ■ ■ Jap, wo- 

 bei ß| «2 . . «^ eine Permutation der Zahlen 1 2 . . . v ist. Die entsprech- 

 ende Substitution kann man immer in eine Reihe von Cyklen zerlegen 



(übe ..l) (I m . . . r) 



so dass durch jene Fortsetzung y„ in y,,, y^ in y^ . . schliesslich y, wieder 

 in y„ übergeht; dass ferner yj in y^, . . y^ in y{ übergeht u. s. w. Natür- 

 lich können auch einige Elemente in sich selbst übergeführt werden. 

 Die Reihenfolge «, «2 • • • ^»' hängt aber auch von dem Sinne ab, in 

 welchem man den Kreis der Schleife durchläuft. Wir wollen bei einem 

 endlichen oder unendlichen Verzweigungspunkt die Umlaufsrichtung als 

 positiv oder vorwärts bezeichnen, welche den Punkt zur Rechten hat. 

 die entgegengesetzte aber negativ oder rückwärts nennen, indem wir 

 annehmen in der x-Ebene liege die positive Axe des Imaginären rechts 

 von der positiven Axe des Reellen. Liefert dann ein positiver Umlauf 

 die Cyklen 



(ab., .t) (t in . . r) 



so liefert ein negativer die Cyklen 



if...ba) (r . . . m 



Zu jedem Verzweigungspunkte gehören ein oder mehrere Cyklen. 

 Die Gesammtzahl aller Cyklen aller Verzweigungspunkte 

 sei mit t bezeichnet. 



Die Zahl o der Verzweigungspunkte muss mindestens = 2 sein. 

 Denn gäbe es nur einen, so würde eine ihn umschliessende Schleife ge- 

 wisse Vertauschungen von Elementen hervorbringen und andererseits 



