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Geht man umgekehrt mit diesem aus um die vorher beschriebene 

 Operation zu machen, so kommt man nach Durchlaufung von Wi_i in x,, 

 mit ji an und hat nun Wj von J^ zu y„ zu umkreisen d. h. den Ueber- 

 gang m zu machen. Somit gehört dann m zum n*"" Umgange. 



Andererseits gehöre zu einer Schleife der Cyklus j^j^ Jt • • Jj) so dass 

 die Elemente Jx, J§, Jt- -Ji der Reihe nach in einander übergehen, wenn 

 man die Schleife positiv umläuft. Seien die Uebergänge j^J^, Jg Jt? • • • 

 j^Jx resp. mit p, q, . . . z bezeichnet, so ist der durch wiederholte Um- 

 kreisung der Schleife entstandene geschlossene Weg durch pqr..z be- 

 schrieben. Wir nennen ihn ebenfalls einen Cyklus. 



[Im Beispiel hat man die 7 Umgänge aht, bks, cir, dmv, enq, 

 fop, glu und die 7 Cyklen a, bc, defg, hmo, ikln, puvsqt, r.] 



§ 2. 

 Wenn man aus allen Uebergängen eine Gruppe G,, von möglichst 

 wenig Uebergängen herausnimmt, die so beschaffen sind, dass man mit 

 ihrer Hilfe von jedem Element zu jedem anderen gelangen kann, so 

 gelten über sie folgende Sätze : ^) 



I) Man kann nicht aus Uebergängen der Gruppe G^ einen 

 geschlossenen Weg so herstellen, dass ein Uebergang nur 

 einmal gebraucht wird. Gesetzt die Uebergänge a, b, c, . . . m von 

 G^, die nicht alle verschieden zu sein brauchen, bildeten in dieser Reihen- 

 folge einen geschlossenen Weg und einer von ihnen, f, komme nur ein- 

 mal vor. Führt f von y^ zu y, , so muss der Weg g h . . m a b . . . e mit 

 y, beginnen und mit y^, enden, weil ja der ganze Weg abc.efg..m 

 geschlossen sein soll. Da aber f nur einmal auftreten soll, kommt es in 

 g . . m a . . . e nicht mehr vor und man kann also, ohne f zu benützen, 

 von y^ zu j^ kommen und somit f auch aus G^ fortlassen und doch 

 noch von jedem Element zu jedem andern gelangen. Dies geht nicht, 

 weil G^ möglichst wenig Uebergänge enthalten soll. Folglich ist der 

 obige Satz bewiesen. 



II) Es muss mindestens ein Element geben, zu welchem 

 von den Uebergängen in G^ nur ein einziger führt. Denn 



1) Diese bekannten Sätze werden hier des Folgenden wegen noch einmal abgeleitet. 

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