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wäre dies nicht der Fall und träte jedes Element in zwei Uebergängen 

 aus Gry auf, so würde ein Uebergang n von jj zu y^ führen; dann gäbe 

 es einen o der von y^ zu j^ leitete, dann wieder einen p der y^ mit y^ 

 verbände u. s. w. Wenn man so fortginge, so raüsste man dann einmal 

 zu einem üebergange t gelangen, der nicht zu einem neuen, sondern zu 

 einem schon benutzten Elemente, etwa zu y^ führte. Dann bildeten aber 

 die von einander verschiedenen Uebergänge p, q, . . t den geschlossenen 

 Weg p q . . . t, was nach dem ersten Satze nicht angeht. 



Ist ()„ die Zahl der Uebergänge in G^ und sind diese a b c . . z, so 

 sei jetzt j^^ das Element oder eines der Elemente, welche nur bei einem 

 Uebergänge a auftreten, dagegen bei den andern b c . . . z nicht, und a 

 verbinde y^, mit y^; dann werden die q^ — 1 Uebergänge b c . . z hinreichen, 

 um von jedem der v — 1 Elemente y^ . . . y^ zu jedem andern überzugehen, 

 da ja a nur gebraucht wurde, um zu y^ zu gelangen. Andererseits kann 

 man auch von den Uebergängen b c . . . z keinen fortlassen, weil man den 

 betreffenden sonst auch aus G^ ohne Schaden fortlassen könnte. Die 

 Gruppe b c . . . z besteht also aus der Minimalzahl von Uebergängen die 

 man braucht, um r — 1 Elemente zu verbirtden, also aus (>^_i. Somit ist 

 (}y = ^^_j -|- 1. Da aber q.2 = 1 ist, folgt (j^ = v — 1. 



V — 1 Uebergänge, welche so beschaffen sind, dass man mit ihrer 

 Hilfe von jedem Element zu jedem anderen kommen kann, sollen funda- 

 mentale heissen. Es ist noch zu zeigen, dass man solche immer finden 

 kann. Mindestens ein Uebergang muss existiren, der y^ mit einem andern 

 Element verbindet. Denn gäbe es keinen, so würde jede Schleifenum- 

 kreisung yi wieder in y, verwandeln, man könnte also das Element yj 

 in der ganzen Ebene eindeutig fortsetzen und die so definirte Function 

 wäre, weil sie nur eine endliche Zahl von ausserwesentlichen singulären 

 Punkten enthalten kann, rational = g(x); dann hätte f(xy) den rationalen 

 Factor y — g (x) und wäre, unserer Annahme entgegen, reducibel. Somit 

 muss ein Uebergang existiren, der yi in ein anderes Element y„ ver- 

 wandelt. Wenn nun kein Uebergang j^ oder y„ mit einem andern Ele- 

 ment verbände, so würde jeder Weg yj und y„ entweder unverändert 

 lassen oder nur unter sich vertauschen, die Functionselemente yj -\- y^ und 

 yi ya lieferten dann rationale Functionen h(x) und k(x) von x und f(xy) 

 hätte den Factor j^ ■ — y h (x) + k (x) und wäre reducibel. Also muss ein 



