207 



Uebergang vorhanden sein, der entweder j^ oder j^ mit einem dritten 

 Element y^ verbindet. Und so kann man weiter schliessen, bis alle 

 j' Elemente erschöpft und dabei }'■ — 1 üebergänge gewonnen sind. Die 

 Elemente werden hier in gewisser Weise geordnet jiJaJb • • • ■ ^^^ zwar 

 kann man von jedem gelangen zu einem der links von ihm stehenden 

 und schliesslich zu ji, folglich auch, wie es verlangt war, von jedem zu 

 jedem anderen. [Im Beispiel sind bdpstu fundamentale Üebergänge]. 



Betrachten wir nun geschlossene Wege, die nur aus fundamen- 

 talen Uebergängen bestehen. Sei a ein solcher Uebergang. Dann muss 

 er nach dem ersten Satze (Seite 205) mehr als einmal auftreten. 



Beginnt man den Weg mit a, so möge dann eine Reihe anderer 

 Üebergänge kommen, deren Gesammtheit ein Weg B sein möge, dann 

 komme wieder a. Dieses kann aber jetzt vorwärts oder rückwärts durch- 

 laufen werden müssen. Dann kann wieder eine Reihe von Uebergängen 

 kommen, die auch noch a oder a' enthalten kann, und deren Gesammt- 

 heit der Weg (J sei. Also ist der ganze geschlossene Weg entweder 

 a B a 6 oder a B a' ß; zu schreiben, wobei, wie erwähnt, in B der Buch- 

 stabe a nicht mehr vorkömmt. Im ersten Falle wäre a2 = B,, daher Ba 

 ein geschlossener, aus lauter fundamentalen Uebergängen bestehender 

 Weg, der a nur einmal enthielte, was nicht möglich ist. Also kann nur 

 die Form a B a' 6! vorkommen. Da a, := Bj, Bg = a/ = ag ist, so ist B 

 selbst wieder ein geschlossener Weg. Ferner ist, weil aa' ^ aj ^ 6i und 

 ©2 = ^1, auch 6 ein geschlossener Weg und muss also, wenn er a noch 

 enthält, entweder die Form haben C a' D a ® oder C a D a' 5), wobei C 

 und D das a nicht mehr enthalten sollen. Im ersten Falle wäre, weil 

 Cj =: ß^i = a, = 3,2 der Weg Ca' geschlossen und enthielte a nur einmal. 

 Also muss (J die Form haben C a D a' S). Von ^ schliesst man dann 

 ähnlich u. s. w. Man kann also den ganzen geschlossenen Weg schreiben 



aBa'C aDaE...aM III 



wobei die geschlossenen Wege B, C, D, . . . M, die auch zum Theil fehlen 

 können, a oder a' nicht mehr enthalten. 



§ 3. 

 Das Integral einer rationalen Function von x und j ist durch An- 

 gabe des Weges (im obigen Sinne) vollständig bestimmt, weil man in 



27* 



