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Die Wege P und Q haben die nämliche Eigenschaft, wie der ur- 

 sprüngliche Weg, somit fällt aus jedem wieder ein Buchstabe fort, so 

 dass man schliesslich Null als Werth des Integrales (A' B' ... M') findet. 

 Da aber 



(A' B' . . . M') = (A') + (B') + . . + (M') 



ist, so setzt sich also die betrachtete Periode durch Addition und Sub- 

 traction aus Integralen wie (a A), (b B) . . . zusammen. Ist a ein funda- 

 mentaler Uebergang, so ist die Ergänzung A = a', daher (a A) = (a a') = o ; 

 und es bleiben also als Perioden nur Integrale, genommen 

 über die yo — (y — 1) Wege, welcher jeder aus einem nicht- 

 fundamentalen Uebergang und seiner Ergänzung besteht. 



IV) Den eben gemachten Schluss, dass (A' B' . . . M') = o ist, kann man 

 auf jeden geschlossenen nur aus fundamentalen Ueber- 

 gängen bestehenden Weg anwenden, so dass ein über einen 

 solchen Weg genommenes Integral stets gleich Null ist.-") 



Man kann ein Verfahren angeben, wie man diese Ergänzungen in 

 systematischer Weise finden kann. Zu diesem Zwecke stellt man sich 

 aus den fundamentalen Uebergängen einen geschlossenen Weg W her, 

 auf dem' man in Xf, zu sämmtlichen v Functionselementen gelangt. Um 

 nun die Ergänzung eines Ueberganges a zu finden, der von j^ zu y^ führt, 

 theilt man W so in 3 Theile, % 33, e, dass %, = ^, = j^, 332 = gi = y^ 

 ist. Dann ist der Weg ^ 51 die gesuchte Ergänzung A, indem er von y^, 

 zu yp führt. Da nun auch 23' von y^ zu y^ führt, könnte man auch 33' 

 als Ergänzung wählen; weil aber der Weg W ganz aus fundamentalen 

 Uebergängen besteht, ist nach dem vorhin bewiesenen Satze IV (W) 

 = (^ 23 ©) = o und somit ist die Periode (a 23') der (a (J 51) gleich. Mög- 



1) Bei dem Beweise des entsprechenden Satzes meiner ersten Abhandlung (Bd. XV dieser 

 Abhandlungen, IL Abth. auf S. 337 und 338) ist ein Versehen vorgekommen, auf das mich Herr 

 Nöther aufmerksam machte. In dem Falle der Figur 4 daselbst ist das Integral über C nicht 

 gleich dem über P Q U R S V P. Aber eine Curve wie die in Figur 4 ist nicht möglich. Denn sind 

 in den dortigen Figuren FR und QS zwei Schnittpunkte von C mit s, welche unmittelbar auf- 

 einanderfolgen, wenn man C durchlauft, so dass auf dem Stücke PVS von C kein Schnittpunkt 

 mit s mehr Hegt, so wäre im Falle der Figur 4 PVSQP eine geschlossene nur fundamentale 

 üebergänge überschreitende Curve, die s nur in einem Punkt (QS) träfe, was nicht möglich ist 

 (Seite 338 oben). Bei Figur 5 ist aber das Integral über C gleich der Summe der über PVQP 

 und R S ü R genommen, von welchen jede mit s zwei Schnittpunkte weniger hat als C u. s. w. 



