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Wenn man nun wie vorhin beschrieben die Reihe &„ a'a b^ Cy ds ij k^ 

 1^ m^j n^ . . . bildet, so muss man, wegen der endlichen Anzahl von Buch- 

 staben, einmal zu einer Gruppe von zwei Buchstaben kommen m^ n^ die 

 schon da war, indem z. B. m^j = b^, n^ = Cj, ist. Dann muss aber nach 

 dem eben bewiesenen auch 1^ = a'«, k^ = a« sein, so dass also die Reihe 

 von k^\x... an eine blosse Wiederholung von a« a'a b^ . . . . i^, und diese 

 Reihe, die wir nun allein mit Rq bezeichnen wollen, geschlossen ist. 



V) Die Reihe Rq hat, wie jetzt gezeigt werden soll, die Eigen- 

 schaft, dass wenn a ein fundamentaler Buchstabe ist, in ihr 

 einmal a, a^ und einmal aga,, wenn a nicht-fundamental ist, 

 einmal ai und einmal a., auftritt. Wenden wir die geschilderte 

 Operation an auf eine Tafel von zwei Zeilen, die durch einen fundamen- 

 talen Uebergang a verbunden sind. In der ersten Zeile stehe a^ und die 

 andern Buchstaben der Zeile von a« aus nach rechts gezählt mögen eine 

 Reihe A bilden. In der zweiten Zeile stehe aß und die andern Buch- 

 staben bilden die Reihe B. Dann ist Rq = a^ a^ B aß aa A und diese hat 

 die angeführten Eigenschaften. Gesetzt es sei bewiesen, dass die aus 

 V — 1 Zeilen mit r — 2 fundamentalen Uebergängen zu bildende Reihe R 

 die fraglichen Eigenschaften hat. Nun gibt es nach Satz II Seite 205 

 stets ein Element, etwa y,, zu dem nur ein fundamentaler Uebergang a 

 führt. Es sei a« =: y,, a'a = Ja- Die in der ersten Zeile neben a« rechts 

 stehenden Buchstaben mögen die Reihe C geben. Wenn man nun auf 

 diejenige Tafel, die aus der 2*'"', S**"" . . . n*''" Zeile der gegebenen gebildet 

 ist, die Regel anwendet, indem man a'a nicht als fundamental ansieht, 

 so entsteht eine Reihe von der Form Da'„E, weil ja a'^ einmal vor- 

 kommen muss, wobei D und E Gruppen sind, welche die zu beweisenden 

 Eigenschaften haben. Bildet man nun Rq, indem man mit dem ersten 

 Buchstaben von D anfängt, so hat man von a'a zu a^ zu springen, dann 

 die Buchstaben von C hinzuschreiben, dann wieder a«, nach a'« zu 

 springen, an das sich die Gruppe E anschliesst, so dass Rq = Da'aa« 

 Caa a'„ E ist und demnach ebenfalls die gewünschten Eigenschaften besitzt. 



Aus Rf) entsteht nun die Beschreibung des Weges Wq, wenn man 

 aus Ro die nicht fundamentalen Buchstaben fortlässt, je ein Paar funda- 

 mentale die nebeneinanderstehen, wie a^ a^ durch den Uebergang a, ^ er- 

 setzt und dabei a|2 mit a, aji mit a' identificirt. Da nun, wie vorhin 



