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die Gruppe pi tg, und bei einem Umgang die pgt,. Wenn also in S;^ die 

 Gruppe pi P2 oder pa p, vorhanden ist, so folgt, dass alle Uebergänge des 

 Cyklus bez. des Umganges, dem p angehört, schon in W^ geöffnet sind, 

 denn andernfalls stände neben pi bez. pg ein anderer Buchstabe als pa 

 oder p,. (Satz IX.) 



Wir wollen nun die t Cyklen aber (des folgenden wegen) rück- 

 wärts durchlaufen und die v Umgänge in irgend einer Ordnung als 

 die geschlossenen Wege Tj, Tg . . Ta, bezeichnen, indem wir r -\- v = (o 

 setzen. Wenn man in den Buchstabenreihen, welche diese Wege dar- 

 stellen, diejenigen Buchstaben fortlässt, welche in S;^ nicht mehr vor- 

 kommen, so kann nach dem eben bewiesenen keine Reihe ganz weg- 

 fallen. Die so entstehenden co „reducirten" Gruppen seien U^'^) U('') . . . U(''). 

 Von ihnen nehme man eine beliebige Zahl heraus, deren Gesammtheit G 

 sei. (X) Dann gibt es Buchstaben, die in G nur einmal vor-t 

 kommen. Die Gruppen, welche G bilden, zerfallen in solche, die aus 

 Cyklen entstanden sind — ihre Gesammtheit sei C — und solche aus 

 Umgängen, deren Gesammtheit U sei. Weil jeder Cyklus und jeder Um- 

 gang nur verschiedene Buchstaben enthält und jeder Uebergang nur 

 einem Cyklus und einem Umgang angehört, so ist der Satz bewiesen, 

 wenn G nur aus C oder nur aus U besteht. 



Andernfalls aber kann auch in Folge dessen ein Buchstabe nur dadurch 

 zweimal in G vorkommen, dass er C und U angehört. Ist also der Satz 

 falsch, so ist jeder in C auftretende Buchstabe auch in U und umgekehrt, und 

 die Gruppen C und U können sich nur durch die Einordnung der Buch- 

 staben in die Reihen unterscheiden. Es ist zu zeigen, dass diese An- 

 nahme unmöglich ist. Sei p ein Buchstabe aus C und p q • • ■ der redu- 

 cirte Cyklus, dem er angehört. Dann beginnt S;^ mit pi q.j nach dem 

 auf Seite 218 bewiesenen. Das q gehört aber auch zu U und dort zu 

 einem Umgange q r . . , . Desswegen enthält S;^; auch die Gruppe qg r^ ; 

 r gehört in C zu einem Cyklus r s . . ., wesswegen 8^ die Gruppe ri Sg 

 enthalten muss u. s. w. S;^ hat also die Form p^ q, rj S2 . . ., wobei man 

 aus Buchstaben, die G angehören, nicht herauskommt. Da aber nach 

 Art seiner Bildung S;^ alle die Buchstaben enthalten muss, die in den 

 UW . . . J]M auftreten, so ist ein Widerspruch vorhanden, der sich entweder 



