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so löst, dass G alle die U('') umfasst, oder dass es in G Buchstaben gibt, 

 die nur einmal vorkommen. 



Hievon kann man folgende Anwendung machen. In UW kommt kein 

 Buchstabe zweimal vor. Ist p einer der Buchstaben aus U('«), so gehört 

 er noch einer anderen Reihe etwa UW an. Die beiden UM und UW ent- 

 halten mindestens einen Buchstaben q nur einmal, der dann noch in einer 

 weiteren Reihe Vi^) auftreten muss. Die drei Reihen U('') U^'') U('') ent- 

 halten wieder einen Buchstaben r nur einmal, der sich dann noch in 

 einer Reihe ü('') finden muss u. s. w. Schliesslich enthalten die Reihen 

 U(*:) U('<) . . U('') einen Buchstaben z nur einmal und der muss dann noch 

 in U^'<^) vorkommen. Die Buchstaben p q . . . z sind natürlich alle ver- 



schieden und ihre Zahl ist co — 1; sie kommen alle in den U('') und folg- 

 lich auch in S^ vor, das, wie wir sahen, yo — (y — 1) — 2y. Buchstaben 

 enthält. 



Also muss, für x =: 0, !,...() 



vö — {v — 1) — 2x^ CO — 1 

 und besonders, für x = (), 



XI) 2()^vo — V — a> + 2 



sein. 



§ 7. 



Die Reihe S^ enthält keine Trennungen gleicher Buchstaben mehr, 

 daher kommt es sicher mindestens einmal vor, dass zwei gleiche Buch- 

 staben neben einanderstehen. Kommt in Sg die Gruppe n, n., vor, so ge- 

 hört nach dem Resultate IX) auf Seite 218 n einem Wege T, etwa Ti 

 an, der ein Cyklus ist; ist dagegen die Gruppe naU,, so ist der Weg T, 

 ein Umgang, und zwar werden dann alle anderen Uebergänge, aus 

 welchen Tj ausser n noch besteht, in W^ schon durchlaufen. Ist Sg 

 := ^ Ui n2 und gehört n dem Cyklus an n a b . . . f, so ist 



Rg = 51 Ui Ja f 1 . . . . ba bi 02 tti n2 , 

 wo Sa und ^ Gruppen von Buchstaben vorstellen. 



