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dann wird 



R, = q2 q, Ti t, a^ a, e^ e^ n, n, qi q^ a^ a^ Ci Cg r^ Vj Xj c^ c^ n^ 11.2 1^ Vg x^ e^ e, 



Si = Ti t, Tg V, Xi t2 V2 Xo. 



Hier trennen sich r und t und liefern das zweite Periodenpaar 



[r], = (r c' n e' q') [t] , = (t e' q ). 



Indem wir nun die Substitutionen q' für q, q; u. s. w. der Kürze 

 wegen schon bei R2 eintreten lassen, wird 



R,^ = q' r V, Xj c' n t' a' e n' q a c r' t V2 Xa e' 



So = Vi X, V2X2, 

 woraus das letzte Periodenpaar 



[v]2 = (v e' q) [x]., = (x e' q r) 



folgt und die Operation beendet ist. 



§ 8. 



Wir gehen nun zur Ableitung zweier von Riemann gegebener Gleich- 

 ungen über und schicken ihr einen Satz voraus. 



Es sei V das Integral einer rationalen Function ip von x und j, (p 

 eine andere rationale Function von x und y und es werde cp dx mit d u 



bezeichnet. Es werde nun I v d u genommen über einen zusammenhängen- 

 den Weg MN, verglichen mit dem, welches über den ebenfalls zusammen- 

 hängenden Weg M P P' N genommen ist, wobei in jedem Punkte der be- 

 treffenden Wege für v derjenige Werth zu setzen ist, den man erhält, 



indem man j i/^ d x über den Weg bis zu jenem Punkt erstreckt. Nennen 



wir j <// d X über den zweiten Weg M P P' N, bis zu einem variabeln Punkt 

 erstreckt w, so ist v = w, wenn der Punkt in M oder N gelegen ist. 

 Somit unterscheiden sich die Integrale j v d u und j w d u um w d u er- 

 streckt über P P'. Ist a ein Punkt von P, so wird er in dem Wege P P' 

 zweimal, in verschiedenen Richtungen, berührt. Folgt auf a bei P der 

 Wegtheil Q, so kommt bei P' vor a der Wegtheil Q'. Die beiden Werthe 



von w in ß unterscheiden sich also um j/' d x genommen über Q Q' und 



