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sind also gleich. Da ferner du für den Punkt « in P einen entgegen- 

 gesetzten Werth hat von dem den es in demselben Punkt von P' erhält, 



so ist w d u über P P' genommen gleich Null und somit v d u über 



MN =Jvdu über MPP'K (Satz XIV.) 



Indem wir jetzt wieder unter ip and ip Integranden erster Gattung 



verstehen, wollen wir v d u über die verschiedenen Wege W^^ nehmen 



und die Werthe vergleichen. 



Es sei Ro = 51 a, 23 b;< g; aA ® b^ und die den Gruppen ^)l ^ 6- ® ent- 

 sprechenden Theile von W,, bez. A B C D, dann ist W^ = A B C D, W, 

 = Aa, A Db^;^. G Q,Xi^h^ fj, (siehe § 5, Seite 213). Setzen wir der Kürze 



wegen a;i , ^ a, b^ ^ =: b, so ist v d u über W^, gleich dem über A B b' b 



CD, wie der obige Satz lehrt; -und indem man diesen Satz wiederholt 

 anwendet, zeigt sich, dass der Weg Wq und der 



V = ABb'.bCaBb'.bB'A'.bB'a C'b'.bCaBb'Aa'D 



dem vdu denselben Werth ertheilen. 



Der letzte Theil bCaBb'Aa'D ist der geschlossene Weg Wj, nur mit 

 anderem Anfang als vorhin, der erste Theil sei mit U bezeichnet, so dass 

 der ganze Weg V := UW, ist. Der W^erth, den v in irgend einem unbe- 

 stimmten Punkte "C, des Weges V hat, d. h. der Werth von i/^dx vom 



Anfang von A bis zu "Q über jenen Weg erstreckt sei v (V C). Er hängt 

 davon ab, ob ^ in ü oder in Wj liegt. Bezeichnen wir den Punkt 'Q 

 für den ersten Fall mit ^, für den zweiten mit ?;, so ist für letzteren 



v(V'/) = ipds. über ü plus dem über Wj bis zum Punkte r/ genommen. 



Der erste Theil ist Null, weil jeder Wegtheil in U zweimal in entgegen- 

 gesetzten Richtungen durchlaufen wird, der zweite sei mit v (W, rj) be- 

 zeichnet, so dass also v ( V ?y) = v (W, rj) und somit 



Jvdu = Jv(Us)du + [v(Wi??)du = Jv(U|)du + Jvdu. 



wo U Vi U Wl 



ist, wobei die den Integralen angehängten Buchstaben die Wege angeben, 

 über welche sie zu nehmen sind. 



