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Durch wiederholte Anwendung derselben Ueberlegung- ergibt sich 

 endlich 



vdu = ^ vdu. 



SO dass man erhält 



XV) -^ vdu = [A][bj-[ß][a] + ...+ 



l = \ t; 



+ [L],_,[m],_, — [M],_,[l],_,. 



Entspricht nun T;. einem Umgang, so umschliesst die zugehörige Curve 

 Cp (§ 1 Seite 204) entweder alle oder keinen Verzweigungspunkt, folg- 

 lich ist V ausserhalb bez. innerhalb eine einwerthige, vom Wege unab- 

 hängige Function des Ortes, die keinen singulären Punkt hat und desshalb 



ist vdu ^ o. Entspricht aber T;. einem Cyklus des Verzweigungspunktes 



w^. SO kann man den geschlossenen Weg ohne den Werth des Integrals 

 zu ändern auf den wiederholt durchlaufenen Kreis um w^ zusammen- 

 ziehen. Da aber v und u allenthalben endliche Integrale sein sollen, so 

 kann man in der Nähe von w;. v nach positiven Potenzen von (x — w;)^« 

 entwickeln, du aber kann, wenn es negative enthält, nur solche enthalten, 



deren Exponent ^ 1 ist, wobei a die Anzahl der Uebergänge im 



Cyklus ist. Das a mal über den erwähnten Kreis erstreckte Integral ver- 

 schwindet somit. Ist der Verzweigungspunkt x ^ oo, so hat man nur 



- für X — w;^ zu setzen, um das nämliche zu finden. So ergibt sich 



endlich die Riemann'sche Gleichung 



[A] [b] - [B] [a] + [C], [d], - [D]i [c], + . . . 



-f [L],_,[m],_,-[M],_,[l],_, = o. 



§ 9. 



Die Gleichung XV oben gilt nicht nur wenn q und </' Inte- 

 granden erster Gattung sind, sondern auch dann, wenn man, x=r|-|-ir/ 

 setzend, <5?>dw-f- WAri für du und <;ß, d|-|- V^id^y für dv schreibt, wenn 



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