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nur die 4 Functionen <#>, V^", <^, , ¥'", in den Punkten der vorkommenden 

 Wege eindeutig als solche Functionen des Ortes gegeben sind, dass die 

 über die Wege T, ...Tcj genommenen Integrale der beiden Ausdrücke du 

 und dv Null sind. Man erkennt die Richtigkeit dieser Behauptung, wenn 

 man die Schlüsse des vorigen § unter diesen Annahmen wiederholt. 



Wir machen davon eine Anwendung, um eine zweite von Riemann 

 herrührende Gleichung zu beweisen, welche für die Convergenz der .9^- 

 Functionen wichtig ist. Es sei der in § 8 gebrauchte Integrand erster 

 Gattung (/), wenn man ihn in seinen reellen und imaginären Theil zerlegt 

 =z (f)^ ^ i (p., , so ist du = ff d X = ift de — (p^ drj -\- i (y;, d ?; 4~ ^2 d I) = d ^ 

 -j-id.9-. Da f/), und (p.^ für jeden Punkt der x Ebene und jedes Element 



nur einen Werth haben und da |du=dC-|-idt9- über einen der 



Wege T|...Toj genommen Null liefert, so ist auch d^ und \ d& über 



einen solchen Weg genommen gleich Null. Die vorhin erwähnten Be- 

 dingungen sind also erfüllt und man darf in der Gl. XV der vorigen 

 Seite für d u setzen d .9 und 'C für v. 



An die Stelle der Grössen [a] und [A] treten nun d& bez. j d^ 



über den Weg A genommen. Diese Integrale sind aber der Coefficient 



von i und der reelle Theil des j cpdx, wenn dies über A erstreckt wird, 



d. h. es sind der Coefficient von i und der reelle Theil im Ausdruck der 

 Periode [a]. Setzt man somit 



[a] = a -\- ia, 



so ist in der fraglichen Gleichung für [a] zu setzen a und a für [A]. 

 Ist ebenso 



so treten ß und ß' an Stelle von [b] bez. [B]. Setzen wir weiter [c], 



= r/ + irM----We-i = ^'?-i +^^e-i' [m]g_, = ,«.'e_i+i,ae_i, so folgt 

 hienach 



aß — a.ß'-\-y^'<)\ — y^(Ji + ... + l'^_, ,a^_,_ Ap_, ^u^_, 

 (XVII) =—1 f^d&. 



