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In Bezug auf 'i^dS gelten nun folgende Sätze: 



1) Wenn der geschlossene Integrationsweg eine Curve ist, die in 

 ihrem Innern keinen Verzweigungspunkt enthält, so ist in diesem Innern 

 'C als einwerthige Function des Ortes zu erklären und dann kann man 

 beweisen,^) dass das Integral einen positiven Werth hat, wenn man bei 

 der Integration die Curve so umläuft, dass das Innere zur Fortschreitungs- 

 richtung auf der Curve so liegt, wie die // Axe zur ^' Axe. Liegt also, 

 wie wir angenommen haben (§ 1), die // Axe rechts von der | Axe, so 

 hat man die Curve so zu durchlaufen, dass man das Innere der Curve 

 zur Rechten hat. 



2) Seien % und 3? zwei geschlossene Wege, die beide in demselben 



Punkt beginnen und enden. Dann ist ^di9 genommen über den Weg 



33 gleich demselben Integral, wenn man es über den Weg '')l5l'33 nimmt. 

 Das letztere zerfällt in die beiden Theile. das über % und das über '51' 33. 

 Für einen Punkt dieses letzteren Weges ist für L derjenige Werth zu 



setzen, der folgt, wenn man d^ vom Anfang von '51 an über den Weg 

 SU ^5l' 33 erstreckt. Dieser Werth ist aber gleich \ ä'C plus dem Integral 



d^ vom Beginn von ^'33 bis zu jenem Punkt genommen. Bezeichnen 

 wir diesen letzteren Werth mit ^, , j d^ mit ^g, so wird 



'si 



JCd^=JU^^=Jl'd.'^+J(Co + C,)d.9 



58 aa'« a a'a 



Dem geschlossenen Wege 3(' 33 entspricht auf der x Ebene eine Curve. 

 Wenn im Innern derselben weder ein Verzweigungspunkt noch ein singu- 



lärer Punkt liegt, so ist j d l^ = o. 



1) Es ist mir kein anderer Beweis bekannt als der Riemann'sche (Werke Seite 124), der auf 

 der Umformung des Randintegrals in ein Flächenintegral berubt. 



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