239 



Wenn man also auch die Auswahl der Buchstaben a b . . l) auf ver- 

 schiedene Art vornehmen kann, so sind doch die Zahlen /. und ,u bei den 

 verschiedenen Arten die nämlichen. 



Ist r = c[ -|- 1, so wird 2 u -\- l = o, d. h. X = o, fi = o, s = 1, 

 folglich ist dann schon S eine einzige Reihe ohne Trennungen. [Im 

 ersten der obigen Beispiele ist r = 4, q = 4, s = 2, daher A =i 1, 2« = o; 

 im zweiten ist r = 4, q = 9, s = 3, und es wird / =: 2, 2 ii = 4]. 



Es seien, um eine Anwendung zu machen, die Reihen R unsere lo 

 Wege Tj . . . T^, von § 6 (Seite 219) mit passenden Indices. Ist nämlich 

 a b c . . i k ein Cjklus, a m n . . . z ein Umgang, so seien 2 der Reihen R 



k,, ij . . . b^ a^ und a, mj . . . Zj. 



Wenn dann alle Buchstaben activ sind, so beginnt eine der Reihen 

 S mit Z2 a, ko . . . und eine andere mit bj ag m, . . . . Nun stehen aber in 

 einer Zelle der Verzweigungstafel des Cyklus v^egen a, ko und links neben 

 a, steht, wegen des Umganges, z^; ferner steht in einer andern Zelle 

 wegen des Cyklus bj a^ und, wegen des Umganges, rechts von a^ das m,. 

 Folglich sind die Reihen S die v Zeilen der Verzweigungstafel und s ist 

 = /'. q ist ferner := t o und somit, weil R bez. S irreducibel ist, 



l := V — ij 2 fi ^= ra — }' — uj -\- 2 = 2 (j 



wie diese Zahlen oben (XII Seite 223) gefunden waren. 



Wenn man bei einer irreducibelen Gruppe R von q Buchstaben 

 ab...optu...z und r Reihen, w = q — r -)- 1 Buchstaben a b . . . p ge- 

 funden hat, derart, dass in Bezug auf die r — 1 übrigen tu..z 

 R ebenfalls irreducibel ist, so ist t u . . z (R) eine Reihe P, ohne 

 Trennungen der Buchstaben tu..z durcheinander. Dann ist atu..z(R) 

 = a (P) zweireihig. Ob aber b a (P) drei- oder einreihig ist, kann man 

 nicht sagen; wir wollen annehmen, es sei (2 -{- (T2)-reihig, wo c)',, entweder 

 + 1 oder — ■ 1 ist, dagegen c b a (P) (2 -j- (Tg + ^3)-i'eihig, wo cTg wieder 

 "4- 1 oder — 1 ist u. s. w. Schliesslich bestehe p o . . c b a (P) aus 2 -|- (V., 

 + ^^3 + • • + ^w Reihen. Es ist aber po...cba(P) = abc..ptu..z(R) 

 = S und besteht somit aus s = q — r-|-2 — 2 ,</ = w -)- 1 — 2 ,« Reihen, 

 so dass 



^"2 + ^3 + • • + '^w = w - 1 — 2 /( 

 sein muss. 



