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Ist u =: o, SO folgt ^2 + (5^3 + . . -|- J*^ = w — 1, SO dass alle d^^ 

 = + 1 sein müssen. Dann ist also b a (P) 3 reihig und muss b in zwei 

 verschiedenen Reihen enthalten, weil sonst beim Uebergang zu a (P) eine 

 Reihe in zwei zerfallen, also 4 Reihen entstehen würden, während a (P) 

 zweireihig ist. Ferner ist cba(P) 4-reihig und muss aus einem ähnlichen 

 Grund, wie der eben erwähnte, c in zwei verschiedenen Reihen enthalten 

 u. s. w. Man kann also aus S mit Hilfe des oben geschilderten Ver- 

 fahrens, indem man p (S), o p (S), . . . a b c . . p (S) bildet, allmälig die Reihe 

 P ohne Trennungen herleiten. 



Ist aber ,« > 1, so ist w — 1 — 2 /t < w — 1, daher können nicht 

 alle <^^ gleich -|- 1 sein. Es sei '5'a + i das erste ()\ welches = — 1 ist, 

 und es seien a b . . . 1 die ersten a der Buchstaben a b . . . p. Dann be- 

 steht 1 . . . . b a (P) aus 2 ^ a — 1 =a-|-l Reihen, dagegen ist m 1 . . . • 

 b a (P) nur «-reihig. Wenn nun in P zwischen den Buchstaben a b . . . 1 m 

 keine Trennungen vorkämen, so wäre m 1 . . . . b a (P) aus 1 -[- « + 1 

 = G -|- 2 Reihen zusammengesetzt, wie man sieht, wenn man den vorhin 

 bei a b . . f) (R) gemachten Schluss wiederholt. Also müssen in P min- 

 destens zwei der Buchstaben a b . . . 1 m sich trennen. Seien dies die 

 beiden a und b, so ist a b (P) einreihig, c b a (P) zweireihig und das Zu- 

 fügen der Buchstaben d e . . p füge nun t^. e^ . . f,^ Reihen hinzu (alle e 

 = + 1 oder — 1), so dass S aus 2 -\- fi -\- s.^ --{-.. -\- f^ Reihen besteht. 

 Dann hat man die Gleichung 



^4 + ^5 + • • • + fw = w — 3 — 2 (»-- 1). 



Da ,« = schon erledigt ist, kann man annehmen, es sei ,a'>l. 

 Ist ,u = 1, so folgt 6^ -|- «5 -j- . . . -j- f^ = w — 3, also s^ = e^ = . . . = e^ 

 = 1. Dann kommen also in ba(P) a und b getrennt vor, dagegen c in 

 c b a (P) in zwei getrennten Reihen, ebenso d in d c b a (P) u. s. w., so 

 dass man durch Bildung von p (S), o p (S) . . . d . . . o p (S), c d . . o p (S) und 

 a b c d . . . o p (S) die Reihe P ohne Trennungen herleiten kann. Ist aber 

 m> 1, so können nicht alle « = -|- 1 sein. Ist f^^, das erste, das 

 = — 1 ist, so seien cd . . gh die ersten ß — 2 der Buchstaben cd ... p. 

 Dann ist h g . . c d b a (P) (ß — 2) reihig, dagegen i h g . . c d b a (P) (ß — 3) 

 reihig. Desswegen müssen sich imter den Buchstaben c d . . . g h i immer 

 zwei finden, sie seien c und d, so dass in b a (P) c und d getrennt sind 



