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Zur vollständigen Discussion des ebenen Schnittes, resp. des Tan- 

 gentenkegels der Brennfläche ist jetzt nur noch eine weitere characte- 

 ristische Zahl, der Rang R der Fläche zu bestimmen. Hierzu führen 

 die folgenden Betrachtungen. 



Wenn .d verschwindet, so gibt es Werthe der l^u ^ü welche den 

 Gleichungen 



10) U + >^^'/'ik l: + ^k = o, k = 1, 2, 3, 4 



^^iXi = o, 



11) t; + I2yp^, l, + ex, = o, k = 1, 2, 3, 4 



-^'/^ki^'ifk = o, 



genügen. Die Verbindungslinie der den beiden Wurzeln X,, Ag zugehörigen 

 Puncte ^i bildet nach 10) ein zu dem Strahlensysteme xy in Bezug auf 

 X conjugirtes, dessen Brennfläche eben von jenen Puncten gebildet 

 wird; die Puncte C; bilden daher die reciproke Fläche der 

 Brenn fläche. Auch analytisch ist dies leicht zu erkennen. Denn 

 durch Differentiation der Gleichungen 10) entsteht 



d^, + Ä^(«/^ikiCidxi+<//i,dCO + dA^</^iu?i 

 + d^f, + ^^f„dx, = 0, 



multiplicirt man diese 4 Gleichungen mit den x,. und addirt, so entsteht 



-^(Xk + ^yk)d^k = o, 



woraus hervorgeht, dass die Tangentenebene der von den Puncten 'Q ge- 

 bildeten Fläche die Polarebene des Punctes z ist. 



Bezeichnet man ferner die zu Ä, l<^ gehörigen Werthe der ^i, C; durch 

 obere entsprechende Indices, so ist nach 10), 11) 



d. h. es wird 



12) 





