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die letzte Zahl giebt die Ordnung der parabolischen Curve auf der Centra- 

 fläche; r ist die Ordnung der Rückkehrcurve derselben. 



Diese letzteren Zahlen habe ich bereits im XVI. Bande der Mathe- 

 matischen Annalen, allerdings auf einem viel weitläufigeren Wege, her- 

 geleitet. Sie gelten auch für die Centra fläche zweiter Art, bei 

 welcher an Stelle der Functionen ip^ lineare Functionen der fj zu setzen 

 sind (vgl. § IX). Erst ganz neuerdings habe ich bemerkt, dass Herr 

 Bäcklund mit Hülfe synthetischer Methoden den ebenen Schnitt und 

 Tangentenkegel der Centrafläche zweiter Art bereits früher untersucht 

 hatte. (Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-academiens handlingar, Stockholm 

 1872, 1873); die von demselben gefundenen Zahlwerthe geben eine 

 erwünschte Bestätigung der obigen ganz allgemeinen Analyse. 



§ n. 



Rückkelir uud parabolische Curye auf den in § I behandelten Flächen. 



Zu einer genaueren Untersuchung der auf der Brennfläche befind- 

 lichen singulären Curven (Rückkehrcurve, parabolische Curve, Doppel- 

 curve etc.) reichen die vorhergehenden Betrachtungen nicht aus. Auf 

 eine vollständige Behandlung dieser Fragen mit Hülfe algebraischer 

 Methoden, namentlich soweit sie die Doppelcurve betreffen, wird man 

 wohl verzichten müssen; einem Theile derselben lässt sich aber auf dem 

 folgenden Wege näher treten. 



Ein Punct der Rückkehrcurve entsteht, wenn drei unendlich benach- 

 barte Strahlen des Systems sich in einem Puncte schneiden; Spitzen der 

 Rückkehrcurve entsprechen dem Fall, wo vier solche Strahlen durch 

 einen Punct gehen. Die erstere Configuration lässt sich auf folgende 

 Art analytisch characterisiren. Die Gleichungen I, 11) ordnen jedem 

 Puncte der Fläche f zwei Puncte §j zu. Dieselben geben die Richtungen 

 dx an, nach denen man auf f fortschreiten muss, um zu dem Fusspuncte 

 eines unendlich nahen Strahles zu gelangen, welcher (xy) im correspon- 

 direnden Puncte z = x -|- ^ y der Brennfläche triff't. Denn die Gleichung 



^fidXi = o 

 und die Bedingung 



