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Dififerentiirt man nun auch die Gleichung J =i o, so ergiebt sich 

 unter Benutzung der zuvor aufgeführten Unterdeterminanten J^^ 



Zi^lrp,^ + Av^i,,dx0^ik + Z'^adx, + 27fikdx,z^5i = o, 

 oder 



9) dA^^ilkV^ik + ^ J7V^iktCi4dxt 4- -d^dx^'Q + ^^f^^l^dx^ = o. 

 Verbindet man mit den Gleichungen 8) und 9) noch die beiden 

 ^Pidx; = o, Z'fjdx; = o, 



wo die Pi willkürliche Coefficienten bedeuten, so erhält man die beiden 

 Richtungen, welche den Haupttangenten der Brennfläche auf der Fläche 

 f entsprechen, ausgedrückt durch eine zwischen den dx, dl bestehende 

 quadratische Relation. Die Bedingung, unter der diese Richtungen coin- 

 cidiren, liefert Puncte, welche entweder der parabolischen oder der Rück- 

 kehrcurve auf der Brennfläche entsprechen. Beide Curven zugleich sind 

 also characterisirt durch das Verschwinden der 8 reihigen Determinante, 

 in welcher die Indices i, k in den ersten vier Horizontal- und Vertical- 

 reihen gleich 1, 2, 3, 4 zu setzen sind: 



fi 0' 



pi 



Diese Determinante lässt sich durch folgende Transformationen in 

 zwei Factoren zerlegen, von denen der eine F ist, während der andere, 

 welcher durch G bezeichnet werden soll, sich auf die Puncte der para- 

 bolischen Curve bezieht. Multiplicirt man nämlich die ersten vier Reihen 

 mit den ^"j und subtrahiert von der sechsten, so treten an Stelle der in 

 dieser befindlichen Elemente die folgenden 



o 



o 



-^f.p. 



Abh. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVI. Bd. II. Abth. 34 



