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linien stehen daher im allgemeinen aufeinander senkrecht. Eine Aus- 

 nahme hievon tritt nur ein für die Curve ip (§ 3), wo die Krüm- 

 mungslinien Spitzen haben, und für die Curve X = o, f ^ o. 



Für die Puncte der Curve X =: o, f = o fällt die Richtung der einen 

 Krümmungslinie mit der Tangente dieser Curve zusammen, sie entspricht 

 dem endlichen Wurzelwerthe L Die Curve X^o, f=:o ist also 

 eine algebraische Krümmungslinie der Fläche; die Richtung 

 der anderen Krümmungslinie hat zur Tangente die vierte harmonische 

 Gerade zu jener und den beiden Haupttangenten der Fläche; sie gehört 

 zu dem Werthe ^ = go . — Für die Puncte der parabolischen 

 Curve von f fällt die Richtung einer Krümmungslinie zusammen mit 

 der der parabolischen Tangente, sie gehört zu der Wurzel /, =: oo ; der 

 andere ist wieder durch den vierten harmonischen Strahl zu diesem und 

 den beiden an X gezogenen Tangenten bestimmt. — In den Puncten 

 H = o, X=:o, f=o sind daher die Richtungen der Krümmungslinien 

 durch die parabolische Tangente und die der Tangente der Curve f = o, 

 X = o gegeben. 



Ist dagegen A = o, so ist der Wurzel /. := o entsprechend tj ^ fj 

 zu setzen; d. h. der betreffende Strahl des Systems, die projective 

 Normale, liegt i n der Tangentenebene und liefert die Richtung einer 

 Krümmungslinie, während die andere Krümmungslinie bestimmt ist durch 

 die Fortschreitungsrichtung dx;, welche der Gleichung 



^fikfidxk = o, 



genügt, d. h. sie fällt mit der Tangente an die Curve f == o, A ^ o zu- 

 sammen. Diese letztere ist also eine zweite algebraische 

 Krümmungslinie der Fläche f. In den Puncten H =: o, A := o, 

 f =r o endlich besteht das System der Krümmungslinientangenten aus der 

 parabolischen Tangente, welche zugleich Tangente der algebraischen 

 Krümmungslinie ist, und der Richtung des Strahles (Xj fj). 



Die Cent r.a fläche berührt, wie aus § 1 folgt, die Fläche f 

 längs der algebraischen Krümmungslinie 2n(n — 1). Ord- 

 nung f=zo, A = o. Sie berührt die reciproke Fläche von f 

 längs der Curve2n (n — 1). Ordnung, welche der algebra- 

 ischen Krümmungslinie 2n. Ordnung X := o, f=o entspricht, 



