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und die gerne inschaftlichen Tangentenebenen berühren zu- 

 gleich die FlächeX in den Puncten dieser letzteren Curve. 

 Endlich entspricht der parabolischen Curve H := o, f ^ o eine Rückkehr- 

 curve 4 n (n — ^ 1) (n — 4). Ordnung auf der reciproken Fläche; die 

 Centrafläche enthält auch diese Curve, ohne die Rückkehr- 

 tangentenebene zu berühren. 



In den Puncten der Curve i/^, welche bestimmt ist dur<;h 



8) f = o, V' = B2 — 4 A C = o, 



fallen die Richtungen der Krümmungslinien zusammen. Diese Curve 

 n (6 n — 8). Ordnung zerlegt f in zwei Gebiete ; in dem einen sind die 

 Richtungen der Krümmungslinien reell, in dem anderen imaginär; längs 

 derselben haben, wie schon bemerkt, die Krümmungslinien Spitzen; die 

 projective Normale berührt die Centrafläche vierpunctig. Das Verschwin- 

 den der Discriminante von J drückt aber bekanntlich aus, dass die be- 

 treffenden Werthe von 'Q-^ den beiden Bedingungen 



genügen. Die Curve ?/' ist daher auch der Ort der Puncte auf 

 f, deren eine Haupttangente die Fläche X berührt. 



Auf !/' wird es noch eine endliche Zahl von Puncten geben, in denen 

 beide Haupttangenten von f gleichzeitig X berühren. Diese Puncte, die 

 Kreispuncte von f, sind daher Doppelpuncte von xp und dadurch 

 bestimmt, dass für Werthe der jj, welche der Gleichung 



^Jif, = o 

 genügen, die beiden Formen 



und X^y,2_(^^^y^)2 



bis auf einen Factor p identisch werden. 



Für die Kreispuncte bestehen daher die Relationen 



(> (X [ik] - X; XO = f,, + r. 4 + «, f,, 



i, k = 1, 2, 3, 4; 



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