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wobei [i k] an Werth Null für i ^ k hat, für i = k aber gleich o zu 



setzen ist. Da alsdann 



^f.^dxk = ^(XdXi — XiJS-XkdXk) — fi-S-cfkdXk, 



wird, so sind die Gleichungen II, 3) für jedes dx; erfüllt, welches der 

 Gleichung ^ f; d X; = o genügt, falls 



V -\- l ()X ^ o, 



genommen wird. Die Kreispuncte geben also zu Hauptpuncten des 

 Systems der Normalen Veranlassung ; jede benachbarte Normale begegnet 

 der Normale des Kreispunctes in demselben Puncto der Centrafläche, der 

 ersichtlich ein Doppelpunct derselben wird. Zu einem Kreispuncte 

 gehören unendlich viele auf einer Geraden gelegenen Puncte ^j der 

 Reciprokalfläche der Centrafläche ; man erhält daraus unmittelbar den 

 folgenden Satz: 



Jedem Kreispuncte entspricht auf der Reciprokal- 

 fläche der Centrafläche eine gerade Linie mit constanter 

 Tangentialebene. 



Die Anzahl der Kreispuncte selbst würde man mit Hülfe der obigen 

 Bedingungen wohl nicht leicht ermitteln können. Sie lässt sich mittelst 

 des von Herrn Schubert zuerst allgemein axiomatisch formulierten 

 „Principes der Erhaltung der Anzahl" leicht gewinnen. Degene- 

 rirt nämlich X in einen Kegelschnitt, so gehen die Puncte, in denen 

 beide Haupttangenten von f dieselbe berührten, über in diejenigen, für 

 welche jene Geraden gleichzeitig den Grenzkegelschnitt treffen, d. h. in 

 die eigentlichen Kreispuncte von f, und diejenigen Puncte, in 

 denen der Grenzkegelschnitt selbst die Fläche f trifft. Demnach beträgt 

 die Anzahl der projectiven Kreispuncte 



K = n[10n2— 28n + 24]. 



Eine analytische Bestimmung dieser Zahl kann man auf folgendem 

 Wege erhalten. Die in § III behandelte Kegelfläche 



K = JTA^^z^z^ = o, 



welche zu jedem Puncte der Fläche f gehört, hat für den vorliegenden 



