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Da einem Kreispuncte von f eine lineare Reihe von Puncten ^j an- 

 gehört, so ergiebt sich unmittelbar aus der Betrachtung von F, welches 

 die 'C im dritten Grade enthält: 



Die den Kreispuncten entsprechenden Doppelpuncte der 

 Centrafläche sind dreifache Puncte derCurveR, die Kreis- 

 puncte selbst sind dreifache Puncte ihres Bildes ().^) 



Bringt man die soeben angeführten Betrachtungen über das Ver- 

 halten von Curven c und C zur Rückkehrcurve auf die Zweige dieses 

 letzteren selbst zur Anwendung, welche durch einen der Doppelpuncte 

 der Centrafläche gehen, so schliesst man weiter: 



Durch jeden der n(10n^ — 28n-f-24) Doppelpuncte gehen 

 drei Zweige der Rückkehrcurve, deren gemeinsame Tan- 

 gente die Normale des zugehörigen Kreispunctes ist. 



Ich gehe nach diesen Bemerkungen zur weiteren Discussion der auf 

 f und der Centrafläche liegenden Curven über. 



Erstens. Verhalten der Curve vierpunctiger Berührung W 

 zur Rückkehrcurve R, sowie der entsprechenden Curven ^|J und {). 



Jedem Puncte von ip, bestimmt durch die Gleichungen 



f = o, 'F = (n — 1)2 B2 4- 4 H A X = o, 



entspricht ein Punct von W auf der Centrafläche. Die Normalen in be- 

 nachbarten Puncten von ip schneiden sich nur dann, wenn ip zugleich 

 die Richtung einer Krümmungslinie von f hat. Dann aber berührt die 

 Curve ¥*■ auf der Centrafläche die betreffende Normale. Spitzen können 

 daher auf W nicht auftreten, da zu dem Auftreten dieser Singularität 

 eben noch nicht genügt, dass zwei benachbarte Normalen sich schneiden. 

 Dagegen treten Spitzen bei der Rückkehrcurve R im allgemeinen 

 auf, wenn die Curve (> eine Krümmungslinie von f berührt. Eine 

 Ausnahme machen hierbei nur diejenigen Puncte von (j, welche dann 

 zugleich noch Puncte von ip sind; eine nähere Untersuchung zeigt, dass 

 wenn in diesem Falle die Richtung von () mit einer Krümmungslinie zu- 

 sammenfällt, hierdurch nur bedingt wird, dass R die betreffende Normale 

 berührt. 



1) Die Tangentenriclitungen von q im Kreispuncte sind die der drei durch diesen Punct 

 gehenden Kriimmungslinien von f. 



