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Zu den Puncten, in denen i// die Richtung einer Krümmungslinie 

 berührt, (die man leicht auch vollständig untersuchen kann) gehören ins- 

 besondere die Puncte 



f=o, A = o, B = o; f=o, X = o, B = o; 



welche mit den Buchstaben P,, Pg, bezeichnet werden sollen. In den 

 Puncten Pj sind die beiden Wurzeln 1 gleich Null; die Richtung der Nor- 

 male fj ist hier zugleich Richtung der Krümmungslinie; die Curven \p 

 und W gehen beide durch den Punct P, und haben zur gemeinsamen 

 Tangente die genannte Normale. Da die Form S (14) von der Gestalt 



15) S = B2Z + AY, 



ist, so berührt auch (> dieselbe Richtung, und gleiches wird mit der Rück- 

 kehrcurve R der Fall sein. 



In den Puncten P, haben demnach die vier Curven W^ i//, R, (>, 

 zur gemeinsamen Tangente die Richtung f; der algebraischen 

 Krümmungslinie f = o, A ^ o. 



Etwas ähnliches findet statt in den Puncten P2. Hier sind beide 

 Werthe von l unendlich; der betreffende Punct Z; von W gegeben durch 



Zj = A fj -)- X; ?/ , r = o. 

 Mithin wird 



dZj = dAfj -f- A^fi]jdXk-]-Xidr, 



und man bestätigt leicht, dass W wieder die Normale in Z; berührt. 

 Denn die Curve \p berührt die Krümmungslinie, deren Richtung dXj ge- 

 geben ist durch 



-S'x; d X; := o, -S'fj d Xj ^ 0. 



Da aber wegen X =: o, B = o auch 



-ZXiXkHik^o, 

 ist es gestattet zu. setzen 



dXi = «^XkHik, 

 so dass 



dZii=dAfi + Xi(d?/ + aXH), 



wird, woraus die angegebene Eigenschaft folgt. Auch hier wird 



