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Somit folgt: 



Die Curven ip und q berühren sich in allen gemeinsamen 

 Puncten, die Kreispuncte ausgenommen, in denen xp einen dop- 

 pelten, ^ einen dreifachen Punct hat. 



In den entsprechenden Puncten berühren sich die Curven 

 Rund ¥^ vierpunctig; in den Doppelpuncten der Centrafläche 

 endlich haben die beiden Zweige von 'Fmit den drei Zweigen 

 von R eine gemeinsame Tangente. 



Zweitens. Verhalten der Curve q und der parabolischen 



Curve h von f. Die beiden Curven schneiden sich in 32n(n — 2)(2n — 3) 



Puncten, welche sich in folgender Weise vertheilen. Wenn H = o ist, 



A 

 so ist entweder A = oo oder / = — ^. Im ersten Falle muss wieder, 



da F verschwinden soll 



^yi.Vkytfikt = o, 



sein, wobei y die Richtung der parabolischen Tangente von f bedeutet. 

 Es führt das auf die 2 (n — 2)(lln — 24) Puncte, in denen die para- 

 bolische Tangente von f zugleich vierpunctige Tangente ist. Im anderen 

 Falle wird F' von der Ordnung 13 n — 17, falls H ^ o gesetzt und der 

 zuvor angegebene Werth von Ä eingetragen wird. Von den so entstehen- 

 den 4n(n — 2)(13n — 17) Puncten sind aber diejenigen zu entfernen, 

 welche demselben Werthe von l in dem Schnittpunctsysteme H = o, [J:=o 

 entsprechen. Die Zahl derselben beträgt, wie man leicht durch Betracht- 

 ung von 7) findet, 2n(n — 2)(5n — 6). — Endlich gehören zu dem 

 Schnittpunctsysteme von h und (> noch die Puncte f=o, H = o 

 X = o, wie die Betrachtung von S (14) unmittelbar lehrt. In der That 

 ist nun 



32n(n — 2)(2n — 3) = 2n(n — 2)[lln — 24-f 26n— 34 — 5n + 6+4]. 



In den 2n(n — 2)(lln — 24) „Asy mptotenpuncten" von f be- 

 rührt^) nun bekanntlich h gleichzeitig die parabolische Tangente, d. h. 

 die Richtung einer Krümmungslinie, für welche das Krümmungs- 



1) Vgl. Salmo n-Piedler. An. Geometrie, Theil II, S. 632; die Bezeichnung dieser 

 Puncte als Asymptotenpuncte ist ursprünglich nur bei der Fläche dritter Ordnung üblich. 



