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und der Ecke x, = Xg = Xg entspricht das zur parabolischen Tangente 

 gehörige Krümmungscentrum x^ = o, X3 = o, X4 = o. Sollen durch diesen 

 Punct überhaupt Strahlen des Systems gehen, so ist zu setzen 



P,=bx,f, 



— X3 f^ = 0, 



P,=bx,f3 



- X4 fg = 0, 



"3 ^^ -^3 ^3 



— X^ f^ = 0, 



oder für x^ = 1 



P^ = b Xg [x^ + c, Xj + 2 g) + 3 i// . .] + X3 [2 X, + Xj C2 + gig + 1/^2 . . .] = o, 

 P2 = b X2 [x, C3 + 9)3 + i/'g + . . .] — [2 Xg + x^ C2 + 9)2 + 1/^2 • • •] = 0, 

 P3 = X3 [x, C3 + 9'3 + 1/^3 + • • •] + |x2 + c, x^ + 2 (jp 4- 3 . .] =0. 



Die Fläche Pj schneidet f in einer Curve mit Doppelpunct, dessen 

 Tangentenrichtungen Xi = X3 = o und Xi = Xj = o wird. Setzt man für 

 den letzteren Zweig der Schnittcurve die Entwickelung 



^1 = Pl XI + P2 x^+ .. ., 

 ^2 = qi ^3+ q? x|+ .. ., 



voraus, so wird p, + (^333 = 0, 2 q, + 3 ^333 = o, wo 7)333, (^332 die Coef- 

 ficienten von X3, Xg X2 in der Form (p bedeuten. Dieselbe Entwickelung 

 ergiebt sich aber auch für die Schnittcurve von P, und f, während die 

 Schnittcurve von P3 und f zur Spitzentangente die parabolische Tangente 

 hat. Es gehen mithin durch die Ecke x, ^ X3 = X4 = o drei unendlich 

 nahe Normalen, wie zu zeigen war. 



Drittens. Die 16n(2n — 3) Schnittpuncte von (> mit der 

 algebraischen Krümmungslinie X := o, f := o, vertheilen sich in 

 folgender Weise. Die Puncte H = o, X := o, f = o, sind wie vorhin ge- 

 zeigt, Puncte von (>, aber die der Krümmungslinie von f auf der Centra- 

 fläche entsprechende „geodätische" Linie geht hier nicht durch einen 

 Punct der Rückkehrcurve. Ferner gehören zu diesen Puncten nach 16) 

 doppeltzählend die Puncte X = o, B ^ o; die geodätische Curve berührt 

 hier die Rückkehrcurve R vierpunctig. Endlich hat man den Fall 



l =: — ^ ZU berücksichtigen. Für denselben wird F' nach Entfernung 



des Factors B von der Ordnung 10 n — 13, so dass n (20 n — 26) Puncte 

 dieser Art vorhanden sind. Aber der Ausdruck ^(aj 'Q) (7), welcher in 



