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 oder für tj =: Xj 



^^f. = -(n-i)4; 



womit gezeigt ist, dass die Fläche 17) in den 2n Puncten X ^ o, f = o, 

 a^ = o die Fläche f berührt. 



Sechstens. Das Geschlecht der Rückkehrcurve R. Die 

 Curve () kann, da sie eindeutig auf R bezogen ist, dazu dienen das Ge- 

 schlecht von R und damit eine weitere für die Theorie der Centrafläche 

 wichtige Zahl zu bestimmen. 



Man sieht unmittelbar, dass die Spitzen von R, deren Entstehung 

 früher besprochen wurde, bei der Abbildung q sich auflösen. Demnach 

 entsprechen nur den singulären Puncten von R in den Doppelpuncten 

 der Centrafläche wieder singulare, nämlich dreifache Puncte von (>, deren 

 Tangentenrichtungen nicht zusammenfallen. Andererseits wird (j eine 

 gewisse Zahl von Doppelpuncten enthalten, denen auf R keine solchen 

 entsprechen, nämlich an allen Stellen, wo beide auf einer Normalen be- 

 findlichen Puncte der Centrafläche der Rückkehrcurve angehören. Spitzen 

 sind auf q nicht vorhanden; sie könnten nur dadurch entstehen, dass 

 jene beiden Puncte zusammenfallen; die Puncte von R, wo ein Zusammen- 

 fallen überhaupt stattfindet, sind oben untersucht und geben zu Spitzen 

 noch nicht Veranlassung. 



Die Zahl der Doppelpuncte von q lässt sich nun aber, wie folgt, 

 bestimmen. Man betrachte die Gleichungen 



J = o, F = o. 



Sind dieselben für beide Wurzeln von J gleichzeitig erfüllt, so sind 

 beide Puncte der Centrafläche Puncte von R. Die Bedingungen aber, 

 unter denen zwei Gleichungen ein Paar gemeinsamer Wurzeln haben, sind 

 bekannt. Sind nämlich in den beiden Gleichungen 



a^f^ + a, t'^-' + ... =0, 



ao't-' + a/t-'-i + ... = o, 



die a,), a,/ von den Graden u, /(', die aj,, a^' von den Geraden a-j-ka, 



