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§ VIII. 

 Die Centrafläche der Fläche zweiten Grades. 



Obwohl die projective Centrafläche der Flächen zweiten 

 Grades schon ausführlich behandelt ist, wird es doch nicht unangemessen 

 sein, diesen Fall in seinem Zusammenhange mit den allgemeinen Ent- 

 wickelungen des letzten § zu besprechen, da dieselben auf ganz anderen 

 Gesichtspuncten beruhen, wie z. B. die Untersuchungen von Clebsch 

 über das Normalenproblem bei den Flächen zweiten Grades, üeberdies 

 finden bei den letzteren in Folge ihrer geradlinigen Erzeugung ganz be- 

 sondere Verhältnisse statt. 



Wird der Einfachheit halber f in der canonischen Form 



1) f :=^aiXi''^=:0 



vorausgesetzt, so reduciren sich nach V, 1) und VI, 1) die beiden Formen 

 F und G gleichzeitig auf ein und dieselbe Form 



Die parabolische Curve der Centrafläche fällt hier also 

 mit ihrer Rückkehrcurve zusammen.') üeberdies zerfällt diese 

 Curve 24. Ordnung in 12 getrennte Theile, die also Kegelschnitte sein 

 müssen. Denn die Determinante £2 liefert gleich Null gesetzt vier Werthe 

 von /.. welchen die vier in dem Büschel X + Ä f = o enthaltenen Kegel 

 zugehören; ein Theil des Bildes der Rückkehrcurve besteht 

 also aus den Berührungscurven der von denEcken desXund 

 f gemeinsamen Polartetraeders an f gelegten Tangentonkegel 

 (den vier Hauptschnitten von f); dem entsprechend besteht dieser Theil 



1) Im allgemeinen wird die Hesse'sche Fläche eine Rückkehrcurve der Originalfläche zur 

 vierfachen Curve haben, längs deren drei der Tangentialebenen mit der Rückkehrtangentenebene 

 zusammenfallen, während die vierte von derselben verschieden ist. Die Rückkehrcurve zählt daher 

 11 fach als uneigentliche parabolische Curve. Sie ist daher als parabolische Curve zu 

 betrachten, wenn die Hesse'sche Fläche die gegebene Fläche 12- oder mehrfach 

 zählend längs derselben durchsetzt. Insbesondere tritt dies immer ein, wenn die Rück- 

 kehrcurve vom Character der Rückkehrkante einer Developpabelen ist, wie dies zuerst von Herrn 

 R h n analytisch erörtert ist (Ueber das Verhalten der Hess e'schen Fläche in vielfachen Puncten ete. 

 Mathematische Annalen XXIII, S. 106). 



