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Bezeichnet man die Gleichung 4) durch 



4 a) a + ßK-\-yl'^ — o, 



so wird die Discriminante 



W— ß'^ — 'iayz^o 



diejenigen Puncte auf f bestimmen, deren eine Haupttangente den ab- 

 soluten Kegelschnitt schneidet. In den Kreispuncten, deren Zahl n[10n2 

 — 28 n + 22] ist, finden daher Doppelpuncte der mit W, ip bezeich- 

 neten Curven statt. Es sind dies aber nicht die einzigen Doppelpuncte 

 von i/^, wie man bisher angenommen zu haben scheint.^) Der in § X, 6) 

 gegebene Werth des Coefficienten B C = /9 zeigt, dass die Fläche 

 ¥^=0 in den 2nPuncten x = o, f=o, a^ = o ebenfalls Doppel- 

 puncte besitzt, und dass zu diesen noch 3 n (n — 2) weitere 

 hinzukommen, bestimmt durch die Gleichungen 



a^ = o, f=o, ^aiakHik = o, 



d. h. durch diejenigen Puncte in der Curve a^ = o, f ^ o, für welche 

 eine der Haupttangenten von f in die Ebene a^ = o fällt, d. h. die 

 Wendepuncte derselben. 



Das heisst: 



Der Ort derjenigen Puncte, denen untereinander gl eiche 

 Werthe der Hauptkrümmungshalbmesser zugehören, ist 

 eine Curve der Ordnung n(6n — 8), welche in den Kreis- 

 puncten, den Wendepuncten des unendlich fernen Schnittes 

 und den Schnittpuncten desselben mit dem imaginären 

 Kreise Doppelpuncte hat. 



Die soeben erwähnten 2 n Schnittpuncte des imaginären Kreises mit 

 f, welche ich als secundäre Kreispuncte von f bezeichne, spielen 

 in Rücksicht auf das Normalenproblem völlig die Rolle der eigentlichen 

 Kreispuncte. Denn der Kegel K, welcher die Richtungen der beiden 

 Krümmungslinien auf der Tangentenebene von f ausschneidet, wird 



1) Herr Fiedler scheint zuerst die in die Kreispuncte fallenden Doppelpuncte von yj be- 

 merkt zu haben. Salmon-Fiedler. A. Geometrie Theil II, S. XXIX der Literatur-Nachrichten. 



