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Für die Flächen W zweiter Art ist also die eigentliche 

 algebraische Krümmungslinie zugleich eine Haupttangenten- 

 curve.^) 



Wie man sieht, gehören die Eigenschaften, welche Herr Geiser zu- 

 erst von den algebraischen Minimalflächen (im eigentlichen Sinne) bewiesen 

 hat, einer allgemeineren Classe von Flächen an, sowie auch ein Theil der 

 Sätze, welche Herr Lie über Minimalflächen entwickelt hat; vielleicht 

 habe ich Gelegenheit, an einer anderen Stelle die Theorie der projectiven 

 Minimalflächen im weiteren Sinne genauer zu verfolgen. 



§ XI. 

 Betrachtung einiger besonderen Fälle. 



Zum Schlüsse dieser Betrachtungen sollen endlich einige der Modi- 

 ficationen erörtert werden, welche in den characteristischen Zahlen der 

 Centraflächen eintreten, wenn die F'läche f einen vielfachen Punct hat, 

 oder die Fläche X, resp. die unendlich ferne Ebene berührt. Einige An- 

 deutungen müssen hier indess genügen, da eine vollständigere Behandlung 

 der hier in Betracht kommenden Fälle zu weit führen würde. 



Wenn f einen Knotenpunct, den man sich etwa conisch denken 

 möge, hat, — die Untersuchungen für höhere vielfache Puncte können 

 in derselben Weise geführt werden, — so erniedrigt sich die Ordnung 

 des Strahlensystems der Normalen um 2 Einheiten; die Classe bleibt un- 

 geändert. Die Classe der Centrafläche erniedrigt sich um 2 Ein- 

 heiten, ihre Ordnung um 6.^) Letzteres kann man direct aus der 

 Betrachtung von z/ entnehmen, wenn man beachtet, dass die Hesse'sche 

 Fläche H in jedem conischen Knoten von f dieselbe Singularität mit dem- 

 selben osculirenden Kegel wie f hat. Setzt man zur Bestimmung der 

 Ordnung 



1) Vgl. Lie, a. a. 0. Satz 68. 



2) Diese Reductionen erfolgen im allgemeinen gemäss dem von Herrn Klein gegebenen 

 Satze, Göttinger Nachrichten 1870; die weiter unten gegebenen Beispiele zeigen indess, dass der- 

 selbe bei der gewöhnlichen Auffassung nicht immer erhalten bleibt. Classe und Ordnung der 

 Centrafläche sind übrigens für Flächen mit beliebigen Singularitäten bekannt; vgl. die Unter- 

 suchungen von Roberts und Sturm Math. Annalen VI. 



