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Wenn die Fläche f die Fläche zweiten Grades X in einem Puncte 

 x" berührt, so treten folgende Modificationen für die Centra fläche 

 erster Art ein. Die Differentialquotienten f; werden für diesen Punct 

 den xf proportional. Die Classe des Strahlensystemes erniedrigt sich 

 nicht, die Ordnung dagegen um eine Einheit, entsprechend dem ausge- 

 zeichneten Puncte. Dazu gehört weiter eine Erniedrigung der Ordnung 

 der Centrafläche um 2 Einheiten; ihre Classe bleibt ungeändert. Die aus 

 1) hervorgehende Form 



P = «2 A — ßf «, [^f.. A — -^f; 4 fik] — al -j^^zTiyi = ^ 

 hat nämlich die Eigenschaft, dass 



ap 



3x„ 



x° 



wird, d, h. die Fläche P berührt f in dem Puncte x° und für diesen 

 Doppelpunct sind zwei Lösungen des Systemes 



f = o, P = o, a^ßi—(^iß^ = o, 



in Abzug zu bringen. Jener Punct selbst wird für die Centra- 

 fläche ein Doppelpunct, wie sich zeigt, wenn man 



< = 0, ß', = o, 



voraussetzt. Das Geschlecht des Tangentenkegels sowie seine Ordnung 

 erfahren keine Aenderung; das Geschlecht des ebenen Schnittes der Centra- 

 fläche erniedrigt sich um eine Einheit, da wegen des eben bemerkten 

 Verhaltens von P die Abbildung desselben in x*^ einen weiteren Doppel- 

 punct erhält. Hierbei ist zunächst die Berührung von f mit X als eine 

 gewöhnliche angenommen. Für die Centrafläche einer Fläche zweiten 

 Grades ergeben sich nicht uninteressante Specialfälle, je nachdem dieselbe 

 die absolute Fläche einfach, stationär, etc. . . . berührt. 



Etwas anders stellen sich diese Verhältnisse bei der projectiven 

 Centrafläche zweiter Art. Berührt f die Ebene a^ = o in einem 

 Puncte x", so werden die Differentialquotienten fj für denselben den a^ 

 proportional. Untersucht man nun die Ordnung der Centrafläche vermöge 

 der Gleichung § VII 4 a), und der Gleichungen 



