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SO zeigt sich, dass in dem Ausdrucke 



Q = K<// — C«f)2(AC-v^2^ 



die beiden ersten Terme noch mit ihren zweiten Differential- 

 quotienten für X = x° verschwinden, also 



für X = x° wird, falls dieser Punct kein parabolischer Punct von f ist. 

 Der Schnitt von Q mit f ist also eine Curve die in x*^ einen dreifachen 

 Punct hat; die Ordnung der Centra fläche erniedrigt sich 

 um drei Einheiten, während die Ordnung des Strahlen- 

 systems der Normalen sich um eine Einheit reducirt. Zu- 

 gleich erkennt man, dass dieser Punct selbst ein dreifacher 

 Punct der Centra fläche wird. Das Geschlecht des ebenen Schnittes 

 erniedrigt sich um drei Einheiten, der Rang der Fläche bleibt ungeändert, 

 die Ordnung der Rückkehrcurve vermindert sich um 12. Die Centra- 

 fläche eines Paraboloides ist daher von der 9. Ordnung, 4. Classe, 

 12. Ranges; ihre Rückkehrcurve besteht aus 6 Kegelschnitten, welche 

 den beiden Hauptschnitten und den vier Erzeugenden entsprechen, die 

 den absoluten Kegelschnitt treffen; die Doppelcurve wird von der 12. Ord- 

 nung, — in üebereinstimmung mit der ausführlichen Untersuchung, welche 

 Herr Caspary^) über die Centrafläche des elliptischen Paraboloides an- 

 gestellt hat. 



Ein besonderes Interesse verdient noch die Betrachtung des Schnittes 

 der Fläche mit der absoluten Ebene. Derselbe besteht aus der 

 dreifach zählenden reciproken Curve von a^ = o, f = o, der Evolute der- 



1) Vgl. Ca spar y, lieber die Krümmungsmittelpunctsfiäche des ellipt. Paraboloides, Journal 

 von Borchardt Bd. 81 S. 143. In diesem Falle ist der dreifache Punct der Fläche ein unipla- 

 narer, wie aus der daselbst S. 164 gegebenen Gleichung der Fläche hervorgeht; man darf wohl 

 annehmen, dass dies im allgemeinen Falle sich ebenso verhält. 



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