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selben, und einer Curve 4 n (n — 1) (n — 2). Ordnung. Nun hat aber 

 a^ = o, f = o in x° einen Doppelpunct; eine einfache Betrachtung zeigt, 

 dass die Ordnung der Evolute für jeden Doppelpunct sich um 6 Einheiten 

 erniedrigt; d. h. es sondern sich je dreifach zählend zwei durch 

 den Doppelpunct gehende Gerade aus der Evolute ab, 

 nämlich die harmonisch conjugirten zu den Tangenten im 

 Doppelpuncte in Bezug auf die von diesen an den abso- 

 luten Kegelschnitt gehenden Tangenten.') Demnach wird 

 die Centra fläche die Ebene a^ längs jener beidenGeraden 

 osculieren, welche keine Rückkehrcurven derselben sind. Aber auch 

 die Ordnung der reciproken Polare von a,^ = o, f = o reducirt sich um 

 zwei Einheiten. Da nun die Coordinaten eines Punctes derselben 



Zj = aj 1// — f; C, 



für den Punct x° ganz unbestimmt werden, so tritt an Stelle dieses 

 „Fundamentalpunctes" eine gerade Linie, nämlich die Polare 

 von x'^ in Bezug auf den absoluten Kegelschnitt. Und auch 

 diese Gerade muss dreifach zählen, da die Erniedrigung der Ordnung der 

 Centrafläche nur 3 Einheiten beträgt, ohne Rückkehrcurve derselben zu 

 sein. Die Ebene a^ = o osculiert demnach die Centrafläche 

 längs des genannten Dreiseites von Geraden, bestehend aus 

 der Polare des Berührungspunctes und dem bezeichneten durch diesen 

 gehenden Geradenpaare.^) 



1) So ist z. B. die Evolute der Ellipse 



^2 v2 



-,-Hcä = c2, a2- b2 = e2 



dargestellt durch die Gleichung 



[x2 a2 + y2 b2 — c2 e*]3 - 27 x^ y2 a2 b^ c2 e* = o ; 

 sie reducirt sich für c = o auf 



(x2 a2 -f y2 b2)3 = o. 



üebrigens kann man sich auch vermöge der Gleichung § VI, 3) sehr leicht davon über- 

 zeugen, dass für jeden Doppelpunct die Ordnung der Evolute sich um 6 Einheiten reducirt; der 

 Doppelpunct selbst gehört dem übrigen Theil der Evolute im allgemeinen nicht an. 



2) Man vergleiche das a. a. 0. von Herrn Caspar y behandelte Beispiel S. 165. 



