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und es werde auch in diesen Symbolen statt a ~\- ß = a ß und für a — ß 

 a ß^ gesetzt, dann erhält man folgende Relationen: 



(3.) lai^la^ ^ —«I; (4.) ß I cc^^ß^l ß^o; 



^ ^ ' ' ' ' ' ' (mod. 3.) 



(5.) a\ß = — ß\a = ß'\a', (6.) a^\ß = a\ß\ 



Ein System von eigentlichen Charakteristiken mag unabhängig 

 heissen, wenn nicht die Summe irgend einer Anzahl derselben mit Null 

 nach dem Modul 3 congruent ist, und wesentlich unabhängig, wenn 

 nicht die Summe von irgend 3 r derselben congruent mit Null mod. 3 

 ist; dann ergeben sich drei für das Folgende äusserst wichtige Sätze: 



(I.) Die Combinationen (Summen von irgend einer Anzahl von 

 Charakteristiken) von X unabhängigen Charakteristiken sind 3^ 

 verschiedene Charakteristiken. 



(II.) Die wesentlichen Combinationen (Summen von irgend 

 einer mit 1 mod. 3 congruenten Anzahl) von l wesentlich unab- 

 hängigen Charakteristiken liefern 3^~' Charakteristiken. 



(III.) Es gibt unter den 3"'' Charakteristiken höchstens 

 2 p unabhängige und 2 p -|- 1 wesentlich unabhängige. 



Die Richtigkeit dieser Sätze erkennt man unmittelbar; denn jede 

 Combination der l Charakteristiken 



C"i), (,"2), (:"3), • • • • (,«;.) 

 nimmt die Form (^^, n^ . . . ,«|) an, wo m, n . . . . e die Zahlen 0, 1, 2 

 bedeuten. Die 3^ Variationen mit Wiederholung derselben geben also die 

 3-^ Charakteristiken des Satzes (I). Unter ihnen befinden sich aber 3^^\ 

 welche von allen Combinationen gebildet sind, deren Anzahl gleich 3 r 

 ist, während die übrigen zu gleichen Teilen aus den Combinationen der 

 Anzahl 3 r -|- 1 und 3 r — 1 entstehen, was Satz (II) aussagt. (III) ist 

 eine unmittelbare Folge aus (I) und (II). 



§ 2. 

 Operalionsgruppen . 



Die 3'P Charakteristiken können durch eine Operationsgruppe von 

 3^P Additionen entstanden gedacht werden, indem die Summe je zweier 



