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p-reihiger Charakteristiken wieder eine solche gibt. Die Charakteristik 

 (o) vertritt dann die Identität. 



Durch Anwendung der Operationen dieser Gruppe bleibt dann das 

 System der 3^^ Charakteristiken ungeändert. Es bleibt aber auch unge- 

 ändert durch die Gruppe der unimodularen linearen Transformationen, 

 d. h. der mod. 3 zur Identität congruenten Transformationen, deren An- 

 zahl nach C. Jordan 



A = (3'P— l)3'p-'(3'p-2— l)3'J'-\...(3-— 1)3 



beträgt, denn bezeichnen (a) und (ß) irgend zwei Charakteristiken des 

 Systems, so sind die linearen Transformationen der erwähnten Gruppe 

 jene, welche den Ausdruck 



G I /9 = a, /?/ — o//9i + . . . . + Cp /?/ — ßp' /?p = € 



ungeändert lassen. Da die Substitutionen der letzteren Gruppe mit denen 

 der ersteren vertauschbar sind, so kann man beide zu einer Gruppe^) 

 von Operationen vereinigen, die das System der 3''' Charakteristiken un- 

 geändert lässt und vom Grade 



3'P(3'P— 1)3-P-'(3^P--— 1).. .(3-— 1). 3 



ist. Die Untergruppen, aus welchen sich diese Gesamtgruppe constituirt, 

 bilden den Ausgangspunkt für das Folgende. 



Die Operationen der Additionsgruppe, oder was dasselbe ist, die 3"^ 

 eigentlichen Charakteristiken können nach Satz (III) entweder aus 2 p 

 unabhängigen oder aus 2 p -|- 1 wesentlich unabhängigen der- 

 selben zusammengesetzt werden. Im ersten Falle kommt man zu folgen- 



1) Diese Gesamtgruppe von Operationen besitzt nach der mir von Herrn F. Klein zuge- 

 gangenen Mitteilung zwei isomorphe Untergruppen : die eine derselben lässt eine Charakteristik (a) 

 ungeändert und vertauscht die übrigen untereinander, was der Einteilung der Charakteristiken in 



32 P — 1 

 eine ausgezeichnete und Gruppencharakteristiken entspricht, die andere ist die im Texte 



erwähnte Gruppe der linearen Transformationen, welche einen Complex von Fundamentalsystemen, 

 wie sie in § 7 aufgestellt und behandelt sind, ungeändert lässt. Ihr entspricht also die Noether- 

 sche Bezeichnungsweise der eigentlichen Charakteristiken. Von jeder der erwähnten Untergruppen 

 gibt es 32 p gleichberechtigte Individuen, entsprechend der Möglichkeit eine der 32 p Charakteri- 

 stiken oder einen der 32 P Complexe von Fundamentalsystemen auszuzeichnen. 



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