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Horizontalreihe, unabhängig definirt, als die Gesamtheit der wesentlichen 

 Combinationen von p + ^ wesentlich unabhängigen eigentlichen Charak- 

 teristiken. So ist z. B. für p = 2 die erste Horizontalreihe des neuen 

 Schemas: 



(«,), (cf,), («3), (a\ al), (a\ al), {al aj), {a\ a^ «3), («j al a^, («j a^ a% 



und man erhält alle Systeme desselben, indem man in unserem ersten 

 Schema mit Hinzunahme einer weiteren Charakteristik (,u) jede Grösse 

 {x) durch diejenige Grösse {x), (x u) oder (;; /li^) ersetzt, welche eine wesent- 

 liche Combination ist.^) 



§ 3. 

 Untergruppen der Additionsgruppe. 



Die Untergruppen der Additionsgruppe vom Grade 3'^ 

 sind sämtlich vomGrade 3^, wo /.= 1, 2, ...2p — 1 ist, unddie 

 Anzahl der gleichberechtigten Untergruppen vom Grade 3^ 

 ist durch die Formel gegeben: 



^ __ (3^P— 1) (3-^P-'— 1) . . . (3-^p-A + i— 1) 

 (3A-1) (3^-1—1) ...(3 — 1) 



Denn eine Untergruppe vom Grade 3^ ist nach Satz (I) aus /. unab- 

 hängigen Charakteristiken gebildet; sind (,a,), («2), .... (/(;.) diese Charak- 

 teristiken, so kann man (,a,) auf 3^^ — 1 Arten wählen, da die Null aus- 

 zuschliessen ist, dann bleiben zur Wahl von (,»2) noch 3^^ — 3 Charakte- 

 ristiken übrig, da (,fi,) und (ftf) als von einander abhängig auszuschliessen 

 sind. Zur Wahl von («3) sind dann noch 3^" — 3^ übrig, da die 3^ aus 

 (U|) und (»2) gebildeten Combinationen als abhängige Charakteristiken 

 ausgeschlossen werden müssen. Endlich bleiben nach der Wahl von 

 (,i*;._i) noch 3^^ — 3^"' unabhängige Charakteristiken übrig, die für (a^) 

 gewählt werden können. Die unabhängigen Charakteristiken (,«i), (ti.^), 

 . . . {jJi) lassen sich also auf 



(32p_i) (32P_3) (32p_32) __ (32p_3;.-i) 



1) Diese Bezeichnung rührt von Herrn Noether her; vergl. die Anmerkung desselben zu 

 meiner o. c. Note. 



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