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Arten wählen; doch sind die hiedurch erhaltenen Gruppen nicht alle 

 verschieden, denn unter den in einer Gruppe von 3^ enthaltenen Charak- 

 teristiken kann (^,) selbst auf 3^- — 1, (^a^) auf 3-^ — 3 u. s. f. {,ax) auf 

 3;. — 3^-1 Arten gewählt werden ohne eine andere Gruppe zu liefern, 

 somit ist die Zahl der verschiedenen Untergruppen nur 



(32p— 1) (3^P-3) ... (3^p— 3A-') _ 

 (3^—1) (3-1—3) ... (3A— 3-1-') ~-'^- 



Zu jeder Untergruppe vom Grade 3-^ gehören 3' P"''- Systeme 

 von je 3-^ Charakteristiken, da die Anzahl der Operationen der Ge- 

 samtgruppe 3"^, die der Untergruppe 3-^ ist. Somit ist die Gesamtzahl 

 aller Charakteristikensysteme von 3''- Gliedern, die Gruppe mit ein- 

 gerechnet : 



p _ o2p_A (3^P-1) (3^P-'-l) ... (3^p-A + i- l) 

 (S-l — 1) (3A-1 — 1) ...(3-1) 



Dieselbe Formel hätten wir von der zweiten Bildungsweise der 

 Charakteristiken ausgehend erhalten können. Zwischen den Charakteris- 

 tiken einer Untergruppe vom Grade 3^ existiren noch einige Sätze, die 

 gleich hier angeführt werden mögen, da sie für das Folgende von Wich- 

 tigkeit sind. 



§ 4. 

 Sätze über Beziehungen zwischen Charakteristiken. 



(IV.) Genügen Ä unabhängige Charakteristiken der Be- 

 dingung 



i'a I «/S ^^ o (mod. 3.), " I = 1, 2, ... X, 



so erfüllen je 2 eigentliche Charakteristiken der aus jenen 

 gebildeten Gruppe vom Grade 3^- dieselbe Bedingung. 



Denn irgend zwei Charakteristiken der Gruppe haben die Form: 



"(^^«,^^...,«70 und (,,^.,4a...^Ji), 

 wo die V und o die Zahlen 0, 1, 2 bedeuten; es ist aber: 



u';\u'y...f^Y\u'',\l4K..al'■ = ,u';^\u°^-^u\^\f^^'-^....-^ (mod. 3.) 



