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wird, und die Summanden rechts nach Voraussetzung allein congruent 

 ^ 1 sind. Die Combinationsform {(/) selbst stellt aber 3'' verschiedene 

 Charakteristiken vor, da sie aus den o unabhängigen Charakteristiken 

 (uj), (^o) • • • (Ho) gebildet ist, somit kann die eine Combinationsform 

 (a^^ it"* .... uV-) mit 3" Combinationsformen (o) verbunden werden. 

 Ferner kann die Congruenz 



A*«i<Vi^:v2----/^?=±i (mod. 3) 



selbstverständlich nur dann eintreten, wenn 



»'i + '^2 + • • • + ^';. =^ ± 1 (mod. 3) 

 ist; diese lineare Congruenz hat aber, da es Ä — o Werte v sind, 

 2 • 3^ - " ~ ' Lösungen, so dass die Combination C«-^' , j /u-l^^ . . . /W^) 2 • 3^- - "" ' 



Formen annehmen kann, mithin gibt es im Ganzen 2 • 3*^ - 3'^ ~ " ~ ' = 2 • 3^- ■" ^ 

 Combinationsformen (/Liß), welche die Congruenz 



^„|//^^Ei 1 (mod. 3} 



befriedigen. Da nun aber stets zwei dieser Charakteristiken einander 

 entgegengesetzt gleich sind, so befriedigt die eine Hälfte die Congruenz 

 «^ -4- 1 die andere Hälfte die Congruenz «^ — 1, während die übrigen 

 3^"' Charakteristiken die Congruenz s^o befriedigen müssen. 



Wir haben nun in den folgenden Paragraphen die für uns wichtig- 

 sten Untergruppen vom Grade 3 und 3^ genauer zu untersuchen und die 

 zugehörigen Systeme zu entwickeln. 



§ 5. 

 Die Untergruppen dritten Grades. 



Eine Untergruppe dritten Grades hat in unserer Bezeichnung die 

 Gestalt : 



(1), C^O, (,"^). 



Ihr gehören 3^^"' — 1 weitere Dreiersysteme von der Form 



