342 



Die Gruppen, von denen jede aus den Combinationen 

 von p unabhängigen Charakteristiken (u^), ^u^) . . . (,t*p) entsteht, 

 scheiden sich in zwei wesentlich verschiedene Klassen, je 

 nachdem 



,«« I IV = o (mod. 3), " l = 1, 2, . . . p, 



ist oder nicht. 



Im ersten Falle genügen nach den Sätzen (IV.) und (V.) alle Charak- 

 teristiken der Gruppe der Bedingung: 



,Ua\iiß ^ o (mod. 3). 



Die zu dieser Klasse gehörigen Gruppen entsprechen vollständig 

 jenen, die Herr Frobenius bei seinen Untersuchungen über Charakteris- 

 tiken, deren Zahlen nach dem Modul 2 genommen sind, als Goepel'sche 

 Gruppen bezeichnet, wir wollen daher auch für unsere Gruppen erster 

 Klasse diese Benennung beibehalten. 



Die Anzahl der Goepel'scheu Gruppen findet man durch eine ähn- 

 liche Betrachtung, wie wir sie pag. 12 zur Aufstellung der Untergruppen 

 vom Grade 3''- angestellt haben, indem man nur beachtet, dass die zu 

 wählenden Charakteristiken der einen linearen Congruenz ,«„ | ,«^ ^ o ge- 

 nügen müssen. Man erhält so: 



^ _ (3^p— 1) (3^P--2— 1) (32p-4_i) _ ^ ^ (3^—1) 

 (3P— 1) (3P-1 — 1) (3P-2— 1) ...(3—1) 

 oder 



D =r (3P4- 1) (3P-'+ 1) . . . (3-+ 1) (3 + 1). 



Zu jeder Gruppe gehören dann noch 3^ — 1 weitere Goepel'sche 

 Systeme, die mit ihr einen Complex von 3^ Systemen bilden, also gibt 

 es überhaupt, die Gruppe mitgerechnet, 



E = 3P (3P + 1) (3P-1 + 1) . . . (3^ + 1) (3 + 1) 



Goepel'sche Systeme. 



Die Anzahl der Gruppen 2. Klasse ist dann 



B'— D, 



die der Systeme 2. Klasse 



3P (B' — D). 



