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ist {113) so zu bestimmen, dass es den Congruenzen ^tJ/Zg^l, ^2!, «3^1 

 genügt. Diese Congruenzen haben S'^p-^ Lösungen, von denen aber die 

 Lösung 0f?/^2) iiach Satz (VII.) auszuschliessen ist (für p > 1), so dass 

 demnach («3) auf 3^^"'^ — 1 Arten von (,u,) und (fi^) unabhängig gewählt 

 werden kann; (^4) kann dann wieder auf 3"^"^ Arten unabhängig von 

 den vorausgehenden Charakteristiken bestimmt werden, während bei der 

 Wahl von (,%) wieder die Lösung C"i^f2,"3,"4) auszuschliessen ist (für p>2). 

 Somit ergibt sich ausser dem geschilderten Bildungsgesetz eines speziellen 

 Fundamentalsystem es die Anzahl derselben in der Gestalt: 



A = (3-P— 1) 3'P-' (3-P-'— 1) . . . (3^—1) ■ 3, 



wie sie bereits § 2 angegeben wurde. Diese speziellen Fundamental- 

 systeme gehören alle der einen Charakteristik Null zu und bilden somit 

 einen Complex von Systemen, der bei einer Untergruppe linearer Trans- 

 formationen ungeändert bleibt. 



Aus einem speziellen Fundamentalsystem erhält man 

 dann sofort ein allgemeines, indem man eine der übrigen 

 32p — i Charakteristiken zu den einzelnen Charakteristiken 

 des Systemes addirt. Dadurch geht der Complex spezieller Funda- 

 mentalsysteme in je einen neuen Complex allgemeinerer über, und man 

 hat somit S'^^ Complexe, welche einzeln den 3^^ gleichberechtigten Unter- 

 gruppen linearer Transformationen zugehören. 



Wollte man die allgemeinen Fundamentalsysteme unabhängig von 

 ihrer Bildung aus den die Charakteristik Null enthaltenden speziellen 

 definiren, so müsste dies (analog den von Herrn Frobenius in der citirten 

 Abhandlung für den Modul 2 aufgestellten Systemen) durch die Congruenz 



(2) «„|«^ + ,(f^|,aj, + ,«j,|,u„=l, a<ß<y, (mod. 3) 



geschehen, die für fiy = o in die spezielle ,«„j «^^1 übergeht. Dass die 

 Charakteristiken unserer Fundamentalsysteme dieser Gleichung genügen, 

 ergibt sich leicht. Denn ist ein spezielles Fundamentalsystem gegeben 



(1), (,"l). (^'2) • . • («2p+l), 



und (,«) irgend eine Charakteristik, so ist ein dem (,u) zugehöriges all- 

 gemeines Fundamentalsystem : 



(U), (,« Uj), (,",«2) • • • (,"."2p + l)- 



