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genügen müssen, und der reelle Teil von 2 2, a^^' m^^ m^/ eine wesentlich 



negative quadratische Form sein muss. Wir ordnen nun den 3^^ Charak- 

 teristiken (üc), die Null mit eingeschlossen, die 3^^ möglichen Systeme 

 von Periodendritteln zu, indem wir setzen: 



so dass 



(2) 

 ^(ß)(u) = e' ^'^ 



r 



'^ ■ ^^(o)(u + «),^| = l,2..p 



ist; die Summen im Exponenten erstrecken sich hier, wie im Folgenden, 

 überall auf die Werte von 1 bis p. 



Der Additionsgruppe der eigentlichen i9^-Charakteristiken entspricht 

 dann die Additionsgruppe der 3^^ Periodendrittel, welche die Thetafunk- 

 tionen ineinander überführt. 



Weiter ist 

 (3) » (a) (— u, , — U2, . . . — Up) = &{—(i) (u, , U2, . . . Up) = 5-(«') (u, , U2, . . . Up), 

 also 



(4) ^(«)(o) = .^(«^)(o); 



somit kann man die Thetafunktionen mit Auszeichnung einer, hier der 

 x^ (o) (u) auch zu — ^ — Paaren gruppiren , deren Charakteristiken sich 



nur durch das Zeichen unterscheiden (vergl. pag. 331). 



Ferner sind noch folgende wichtige Formeln zu bemerken: 



(5) ... ^(«)(u+3/?) 



- Itt I .S .2 ay,/^' ßf, /S^' + 2 .5 ß^ U/. j + -^ .^(a^ /3^'— a^'/?/t) 

 = e z^'*' '^ /^ -»^(«Xu), 



(6) ... »{a)(y,^ß) 



^3^a,,'/?,^,'-^^/J,(u,+ f^ + ^) 



= e '^'^ <" ■^(a/9)(u). 



