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 Sei ferner zur Abkürzung: 



e ' = r (7) 



I y 



gesetzt; bildet man dann das Symbol r ", so ist 



^/"'- = o und ^/'^= 3^p, (8) 



wenn sich die Summen auf sämtliche Charakteristiken (^ beziehen. Denn 

 nach der Bedeutung des Symbols i«a|? ist o|^i=:o für jeden Wert von 

 ^, wodurch die Richtigkeit der 2. Gleichung folgt. Ferner befinden sich 

 unter den 3^^ Charakteristiken (Q S^^~\ die ,t<„|^^o, 3^p~\ die /7„|^ 

 ^4~1 und 3^P~' die ,Ua|^^ — 1 machen; also ist 



-2-/"'^ = 3-P-'(l +T + T-') = o (mod. 3). . . . (9) 



§ 9- 

 I. Additionstheorem der Thetafunktionen. 



Bildet man 3^ Thetaprodukte aus je drei Thetafunktionen mit der- 

 selben Charakteristik, so sind dieselben nach einem bekannten Satze von- 

 einander imabhängig, und ein 3^ -}- 1 tes Produkt lässt sich durch die- 

 selben linear darstellen. 



Es ist also: 



p 



a=3— 1 



c&{o) (u— Vi) (u— V2) (u— V3) = -S-c« 6^ ((7„) (u— bj (u— b^) (u— bg), (1) 



a=o 



wobei die Gleichungen bestehen: 



v<') + v^» + v^' = bi') + H" 4- b<'> = w,, 



vf) + vf + vf = bf' + hf^ + bf = w,, 



v(P) _i_ v(P) _}_ v(P) _ b(p) -f blP' + b^P' = Wp, 



(2) 



und die w auch = o genommen werden können, was wir im Folgenden 



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